Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrs2 Structured version   Unicode version

Theorem lclkrs2 32340
Description: The set of functionals with closed kernels and majorizing the orthocomplement of a given subspace  Q is a subspace of the dual space containing functionals with closed kernels. Note that  R is the value given by mapdval 32428. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrs2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
lclkrs2.o  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
lclkrs2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
lclkrs2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
lclkrs2.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
lclkrs2.l  |-  L  =  (LKer `  U )
lclkrs2.d  |-  D  =  (LDual `  U )
lclkrs2.t  |-  T  =  ( LSubSp `  D )
lclkrs2.c  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
lclkrs2.r  |-  R  =  { g  e.  F  |  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g )  /\  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  C_  Q ) }
lclkrs2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
lclkrs2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lclkrs2  |-  ( ph  ->  ( R  e.  T  /\  R  C_  C ) )
Distinct variable groups:    D, g    f, g, F    f, L, g   
._|_ , f, g    Q, g    U, g
Allowed substitution hints:    ph( f, g)    C( f, g)    D( f)    Q( f)    R( f, g)    S( f, g)    T( f, g)    U( f)    H( f, g)    K( f, g)    W( f, g)

Proof of Theorem lclkrs2
StepHypRef Expression
1 lclkrs2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 lclkrs2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 lclkrs2.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 lclkrs2.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 lclkrs2.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 lclkrs2.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
7 lclkrs2.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
8 lclkrs2.t . . 3  |-  T  =  ( LSubSp `  D )
9 lclkrs2.r . . 3  |-  R  =  { g  e.  F  |  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g )  /\  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  C_  Q ) }
10 lclkrs2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 lclkrs2.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lclkrs 32339 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  T )
13 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )  =  ( L `  g
)  /\  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  C_  Q
)  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( g  e.  F  ->  (
( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g )  /\  (  ._|_  `  ( L `  g ) )  C_  Q )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  =  ( L `  g ) ) )
1514ss2rabi 3427 . . 3  |-  { g  e.  F  |  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g
) ) )  =  ( L `  g
)  /\  (  ._|_  `  ( L `  g
) )  C_  Q
) }  C_  { g  e.  F  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  =  ( L `  g ) }
16 lclkrs2.c . . . 4  |-  C  =  { f  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f ) }
17 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  ( L `  f )  =  ( L `  g ) )
1817fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (  ._|_  `  ( L `  f ) )  =  (  ._|_  `  ( L `
 g ) ) )
1918fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) ) )
2019, 17eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g ) ) )
2120cbvrabv 2957 . . . 4  |-  { f  e.  F  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) }  =  { g  e.  F  |  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g )
) )  =  ( L `  g ) }
2216, 21eqtri 2458 . . 3  |-  C  =  { g  e.  F  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g ) }
2315, 9, 223sstr4i 3389 . 2  |-  R  C_  C
2412, 23jctir 526 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  T  /\  R  C_  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    C_ wss 3322   ` cfv 5456   LSubSpclss 16010  LFnlclfn 29857  LKerclk 29885  LDualcld 29923   HLchlt 30150   LHypclh 30783   DVecHcdvh 31878   ocHcoch 32147
This theorem is referenced by:  mapd1o  32448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29776  df-lshyp 29777  df-lcv 29819  df-lfl 29858  df-lkr 29886  df-ldual 29924  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151  df-llines 30297  df-lplanes 30298  df-lvols 30299  df-lines 30300  df-psubsp 30302  df-pmap 30303  df-padd 30595  df-lhyp 30787  df-laut 30788  df-ldil 30903  df-ltrn 30904  df-trl 30958  df-tgrp 31542  df-tendo 31554  df-edring 31556  df-dveca 31802  df-disoa 31829  df-dvech 31879  df-dib 31939  df-dic 31973  df-dih 32029  df-doch 32148  df-djh 32195
  Copyright terms: Public domain W3C validator