Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcomfsup Structured version   Unicode version

Theorem lcomfsup 26747
 Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f Scalar
lcomf.k
lcomf.s
lcomf.b
lcomf.w
lcomf.g
lcomf.h
lcomf.i
lcomfsup.z
lcomfsup.y
lcomfsup.j
Assertion
Ref Expression
lcomfsup

Proof of Theorem lcomfsup
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsup.j . 2
2 lcomf.f . . . 4 Scalar
3 lcomf.k . . . 4
4 lcomf.s . . . 4
5 lcomf.b . . . 4
6 lcomf.w . . . 4
7 lcomf.g . . . 4
8 lcomf.h . . . 4
9 lcomf.i . . . 4
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcomf 26746 . . 3
11 eldifi 3469 . . . . 5
12 ffn 5591 . . . . . . . 8
137, 12syl 16 . . . . . . 7
1413adantr 452 . . . . . 6
15 ffn 5591 . . . . . . . 8
168, 15syl 16 . . . . . . 7
1716adantr 452 . . . . . 6
189adantr 452 . . . . . 6
19 simpr 448 . . . . . 6
20 fnfvof 6317 . . . . . 6
2114, 17, 18, 19, 20syl22anc 1185 . . . . 5
2211, 21sylan2 461 . . . 4
23 ssid 3367 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
257, 24suppssr 5864 . . . . 5
2625oveq1d 6096 . . . 4
276adantr 452 . . . . . 6
288ffvelrnda 5870 . . . . . 6
29 lcomfsup.y . . . . . . 7
30 lcomfsup.z . . . . . . 7
315, 2, 4, 29, 30lmod0vs 15983 . . . . . 6
3227, 28, 31syl2anc 643 . . . . 5
3311, 32sylan2 461 . . . 4
3422, 26, 333eqtrd 2472 . . 3
3510, 34suppss 5863 . 2
36 ssfi 7329 . 2
371, 35, 36syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   wss 3320  csn 3814  ccnv 4877  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cfn 7109  cbs 13469  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  clmod 15950 This theorem is referenced by:  islindf4  27285 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-rng 15663  df-lmod 15952
 Copyright terms: Public domain W3C validator