Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcomfsup Unicode version

Theorem lcomfsup 25916
 Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f Scalar
lcomf.k
lcomf.s
lcomf.b
lcomf.w
lcomf.g
lcomf.h
lcomf.i
lcomfsup.z
lcomfsup.y
lcomfsup.j
Assertion
Ref Expression
lcomfsup

Proof of Theorem lcomfsup
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsup.j . 2
2 lcomf.f . . . 4 Scalar
3 lcomf.k . . . 4
4 lcomf.s . . . 4
5 lcomf.b . . . 4
6 lcomf.w . . . 4
7 lcomf.g . . . 4
8 lcomf.h . . . 4
9 lcomf.i . . . 4
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lcomf 25915 . . 3
11 eldifi 3332 . . . . 5
12 ffn 5427 . . . . . . . 8
137, 12syl 15 . . . . . . 7
1413adantr 451 . . . . . 6
15 ffn 5427 . . . . . . . 8
168, 15syl 15 . . . . . . 7
1716adantr 451 . . . . . 6
189adantr 451 . . . . . 6
19 simpr 447 . . . . . 6
20 fnfvof 6132 . . . . . 6
2114, 17, 18, 19, 20syl22anc 1183 . . . . 5
2211, 21sylan2 460 . . . 4
23 ssid 3231 . . . . . . 7
2423a1i 10 . . . . . 6
257, 24suppssr 5697 . . . . 5
2625oveq1d 5915 . . . 4
276adantr 451 . . . . . 6
28 ffvelrn 5701 . . . . . . 7
298, 28sylan 457 . . . . . 6
30 lcomfsup.y . . . . . . 7
31 lcomfsup.z . . . . . . 7
325, 2, 4, 30, 31lmod0vs 15712 . . . . . 6
3327, 29, 32syl2anc 642 . . . . 5
3411, 33sylan2 460 . . . 4
3522, 26, 343eqtrd 2352 . . 3
3610, 35suppss 5696 . 2
37 ssfi 7126 . 2
381, 36, 37syl2anc 642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1633   wcel 1701  cvv 2822   cdif 3183   wss 3186  csn 3674  ccnv 4725  cima 4729   wfn 5287  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900   cof 6118  cfn 6906  cbs 13195  Scalarcsca 13258  cvsca 13259  c0g 13449  clmod 15676 This theorem is referenced by:  islindf4  26456 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-riota 6346  df-er 6702  df-en 6907  df-fin 6910  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-rng 15389  df-lmod 15678
 Copyright terms: Public domain W3C validator