Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem3 Structured version   Unicode version

Theorem lcvexchlem3 29932
Description: Lemma for lcvexch 29935. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvexch.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvexch.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvexch.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lcvexch.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lcvexch.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvexch.q  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
lcvexch.d  |-  ( ph  ->  T  C_  R )
lcvexch.e  |-  ( ph  ->  R  C_  ( T  .(+) 
U ) )
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem3  |-  ( ph  ->  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T )  =  R )

Proof of Theorem lcvexchlem3
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lcvexch.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
32lsssssubg 16065 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
5 lcvexch.q . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
64, 5sseldd 3335 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lcvexch.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
84, 7sseldd 3335 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 lcvexch.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
104, 9sseldd 3335 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lcvexch.d . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  R )
12 lcvexch.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1312lsmmod2 15339 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  T  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  T  C_  R )  -> 
( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T ) )
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1188 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T ) )
15 lcvexch.e . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  ( T  .(+) 
U ) )
16 lmodabl 16022 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
171, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1812lsmcom 15504 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1917, 10, 8, 18syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
2015, 19sseqtrd 3370 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
T ) )
21 df-ss 3320 . . 3  |-  ( R 
C_  ( U  .(+)  T )  <->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  R )
2220, 21sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  R )
2314, 22eqtr3d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727    i^i cin 3305    C_ wss 3306   ` cfv 5483  (class class class)co 6110  SubGrpcsubg 14969   LSSumclsm 15299   Abelcabel 15444   LModclmod 15981   LSubSpclss 16039    <oLL clcv 29914
This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  29934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-oppg 15173  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-lmod 15983  df-lss 16040
  Copyright terms: Public domain W3C validator