Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem3 Unicode version

Theorem lcvexchlem3 29531
Description: Lemma for lcvexch 29534. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lcvexch.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lcvexch.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lcvexch.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lcvexch.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lcvexch.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lcvexch.q  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
lcvexch.d  |-  ( ph  ->  T  C_  R )
lcvexch.e  |-  ( ph  ->  R  C_  ( T  .(+) 
U ) )
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem3  |-  ( ph  ->  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T )  =  R )

Proof of Theorem lcvexchlem3
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lcvexch.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
32lsssssubg 15997 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
5 lcvexch.q . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
64, 5sseldd 3317 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
7 lcvexch.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
84, 7sseldd 3317 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 lcvexch.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
104, 9sseldd 3317 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lcvexch.d . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  R )
12 lcvexch.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1312lsmmod2 15271 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  T  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  T  C_  R )  -> 
( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T ) )
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T ) )
15 lcvexch.e . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  ( T  .(+) 
U ) )
16 lmodabl 15954 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
171, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
1812lsmcom 15436 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
1917, 10, 8, 18syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
2015, 19sseqtrd 3352 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
T ) )
21 df-ss 3302 . . 3  |-  ( R 
C_  ( U  .(+)  T )  <->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  R )
2220, 21sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  R )
2314, 22eqtr3d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  i^i  U )  .(+)  T )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ` cfv 5421  (class class class)co 6048  SubGrpcsubg 14901   LSSumclsm 15231   Abelcabel 15376   LModclmod 15913   LSubSpclss 15971    <oLL clcv 29513
This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  29533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-oppg 15105  df-lsm 15233  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-lmod 15915  df-lss 15972
  Copyright terms: Public domain W3C validator