Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem4 Structured version   Unicode version

Theorem lcvexchlem4 29835
 Description: Lemma for lcvexch 29837. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s
lcvexch.p
lcvexch.c L
lcvexch.w
lcvexch.t
lcvexch.u
lcvexch.f
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem4

Proof of Theorem lcvexchlem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcvexch.s . . . 4
2 lcvexch.c . . . 4 L
3 lcvexch.w . . . 4
4 lcvexch.t . . . 4
5 lcvexch.u . . . . 5
6 lcvexch.p . . . . . 6
71, 6lsmcl 16155 . . . . 5
83, 4, 5, 7syl3anc 1184 . . . 4
9 lcvexch.f . . . 4
101, 2, 3, 4, 8, 9lcvpss 29822 . . 3
111, 6, 2, 3, 4, 5lcvexchlem1 29832 . . 3
1210, 11mpbid 202 . 2
1333ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
141lsssssubg 16034 . . . . . . . . 9 SubGrp
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8 SubGrp
16 simp2 958 . . . . . . . 8
1715, 16sseldd 3349 . . . . . . 7 SubGrp
1843ad2ant1 978 . . . . . . . 8
1915, 18sseldd 3349 . . . . . . 7 SubGrp
206lsmub2 15291 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
2117, 19, 20syl2anc 643 . . . . . 6
2253ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
2315, 22sseldd 3349 . . . . . . . 8 SubGrp
24 simp3r 986 . . . . . . . 8
256lsmless1 15293 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
2623, 19, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . 7
27 lmodabl 15991 . . . . . . . . . 10
283, 27syl 16 . . . . . . . . 9
293, 14syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3029, 4sseldd 3349 . . . . . . . . 9 SubGrp
3129, 5sseldd 3349 . . . . . . . . 9 SubGrp
326lsmcom 15473 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3328, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . 8
34333ad2ant1 978 . . . . . . 7
3526, 34sseqtr4d 3385 . . . . . 6
3693ad2ant1 978 . . . . . . 7
371, 2, 3, 4, 8lcvbr3 29821 . . . . . . . . . 10
3837adantr 452 . . . . . . . . 9
393adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
40 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
414adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
421, 6lsmcl 16155 . . . . . . . . . . . 12
4339, 40, 41, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
44 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . 14
45 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13
47 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . 14
48 eqeq1 2442 . . . . . . . . . . . . . 14
4947, 48orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
5046, 49imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
5150rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11
5243, 51syl 16 . . . . . . . . . 10
5352adantld 454 . . . . . . . . 9
5438, 53sylbid 207 . . . . . . . 8
55543adant3 977 . . . . . . 7
5636, 55mpd 15 . . . . . 6
5721, 35, 56mp2and 661 . . . . 5
58 ineq1 3535 . . . . . . 7
59 simp3l 985 . . . . . . . . 9
601, 6, 2, 13, 18, 22, 16, 59, 24lcvexchlem2 29833 . . . . . . . 8
6160eqeq1d 2444 . . . . . . 7
6258, 61syl5ib 211 . . . . . 6
63 ineq1 3535 . . . . . . 7
646lsmub2 15291 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
6519, 23, 64syl2anc 643 . . . . . . . . 9
66 dfss1 3545 . . . . . . . . 9
6765, 66sylib 189 . . . . . . . 8
6860, 67eqeq12d 2450 . . . . . . 7
6963, 68syl5ib 211 . . . . . 6
7062, 69orim12d 812 . . . . 5
7157, 70mpd 15 . . . 4
72713exp 1152 . . 3
7372ralrimiv 2788 . 2
741lssincl 16041 . . . 4
753, 4, 5, 74syl3anc 1184 . . 3
761, 2, 3, 75, 5lcvbr3 29821 . 2
7712, 73, 76mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cin 3319   wss 3320   wpss 3321   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  SubGrpcsubg 14938  clsm 15268  cabel 15413  clmod 15950  clss 16008   L clcv 29816 This theorem is referenced by:  lcvexch  29837  lsatcvat3  29850 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lcv 29817
 Copyright terms: Public domain W3C validator