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Theorem ldilco 30913
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ldilco.d  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ldilco  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)

Proof of Theorem ldilco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  K  e.  V )
2 ldilco.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ldilco.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
52, 3, 4ldillaut 30908 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
72, 3, 4ldillaut 30908 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G  e.  ( LAut `  K
) )
873adant2 976 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  G  e.  ( LAut `  K )
)
93lautco 30894 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  G  e.  ( LAut `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  (
LAut `  K )
)
11 simp11 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  V  /\  W  e.  H ) )
12 simp13 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G  e.  D )
13 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 2, 4ldil1o 30909 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
1511, 12, 14syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16 f1of 5674 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
18 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
19 fvco3 5800 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
21 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x ( le `  K ) W )
22 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2313, 22, 2, 4ldilval 30910 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( G `  x )  =  x )
2411, 12, 18, 21, 23syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( G `  x )  =  x )
2524fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  x
) )  =  ( F `  x ) )
26 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  F  e.  D )
2713, 22, 2, 4ldilval 30910 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
2811, 26, 18, 21, 27syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  x )  =  x )
2920, 25, 283eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x )
30293exp 1152 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( x  e.  ( Base `  K
)  ->  ( x
( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) )
3130ralrimiv 2788 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) )
3213, 22, 2, 3, 4isldil 30907 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G
)  e.  ( LAut `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) ) )
33323ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) ) ) )
3410, 31, 33mpbir2and 889 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454   Basecbs 13469   lecple 13536   LHypclh 30781   LAutclaut 30782   LDilcldil 30897
This theorem is referenced by:  ltrnco  31516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-laut 30786  df-ldil 30901
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