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Theorem ldilco 30927
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ldilco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ldilco.d  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ldilco  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)

Proof of Theorem ldilco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  K  e.  V )
2 ldilco.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ldilco.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
52, 3, 4ldillaut 30922 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 975 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
72, 3, 4ldillaut 30922 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G  e.  ( LAut `  K
) )
873adant2 974 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  G  e.  ( LAut `  K )
)
93lautco 30908 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  G  e.  ( LAut `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  (
LAut `  K )
)
11 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  V  /\  W  e.  H ) )
12 simp13 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G  e.  D )
13 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 2, 4ldil1o 30923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D )  ->  G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
1511, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16 f1of 5488 . . . . . . 7  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
1715, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  G :
( Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
18 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x  e.  ( Base `  K )
)
19 fvco3 5612 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  x  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
21 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  x ( le `  K ) W )
22 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2313, 22, 2, 4ldilval 30924 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  G  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( G `  x )  =  x )
2411, 12, 18, 21, 23syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( G `  x )  =  x )
2524fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  x
) )  =  ( F `  x ) )
26 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  F  e.  D )
2713, 22, 2, 4ldilval 30924 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
2811, 26, 18, 21, 27syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( F `  x )  =  x )
2920, 25, 283eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D )  /\  x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x )
30293exp 1150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( x  e.  ( Base `  K
)  ->  ( x
( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) )
3130ralrimiv 2638 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) )
3213, 22, 2, 3, 4isldil 30921 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G
)  e.  ( LAut `  K )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( x ( le `  K
) W  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  x ) ) ) )
33323ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  D  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( LAut `  K
)  /\  A. x  e.  ( Base `  K
) ( x ( le `  K ) W  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  x ) ) ) )
3410, 31, 33mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  D  /\  G  e.  D
)  ->  ( F  o.  G )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   LHypclh 30795   LAutclaut 30796   LDilcldil 30911
This theorem is referenced by:  ltrnco  31530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-laut 30800  df-ldil 30915
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