Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0v Structured version   Unicode version

Theorem ldual0v 29885
Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualv0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ldualv0.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualv0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ldualv0.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualv0.o  |-  O  =  ( 0g `  D
)
ldualv0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
ldual0v  |-  ( ph  ->  O  =  ( V  X.  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem ldual0v
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  (LFnl `  W )  =  (LFnl `  W )
2 ldualv0.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 ldualv0.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
6 ldualv0.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 ldualv0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 ldualv0.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
92, 7, 8, 1lfl0f 29804 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( V  X.  {  .0.  }
)  e.  (LFnl `  W ) )
106, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  (LFnl `  W ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10ldualvadd 29864 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } ) ( +g  `  D ) ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( ( V  X.  {  .0.  } )  o F ( +g  `  R
) ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
128, 2, 3, 7, 1, 6, 10lfladd0l 29809 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } )  o F ( +g  `  R
) ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
1311, 12eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( V  X.  {  .0.  } ) ( +g  `  D ) ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } ) )
144, 6ldualgrp 29881 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Grp )
15 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
161, 4, 15, 6, 10ldualelvbase 29862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  (
Base `  D )
)
17 ldualv0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  D
)
1815, 5, 17grpid 14832 . . 3  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( V  X.  {  .0.  } )  e.  ( Base `  D ) )  -> 
( ( ( V  X.  {  .0.  }
) ( +g  `  D
) ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } )  <->  O  =  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
1914, 16, 18syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( V  X.  {  .0.  }
) ( +g  `  D
) ( V  X.  {  .0.  } ) )  =  ( V  X.  {  .0.  } )  <->  O  =  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
2013, 19mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( V  X.  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   LModclmod 15942  LFnlclfn 29792  LDualcld 29858
This theorem is referenced by:  ldual0vcl  29886  lkr0f2  29896  lduallkr3  29897  lclkrlem1  32241  lclkrlem2j  32251  lcd0v  32346  lcd0v2  32347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lfl 29793  df-ldual 29859
  Copyright terms: Public domain W3C validator