Theorem ldual0vs 30056

Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0vs.f	|- F = (LFnl ` W )
ldual0vs.r	|- R = (Scalar ` W )
ldual0vs.z	|- .0. = ( 0g ` R )
ldual0vs.d	|- D = (LDual ` W )
ldual0vs.t	|- .x. = ( .s ` D )
ldual0vs.o	|- O = ( 0g ` D )
ldual0vs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
ldual0vs.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
ldual0vs	|- ( ph -> ( .0. .x. G ) = O )

Proof of Theorem ldual0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0vs.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` W )
2		ldual0vs.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3		ldual0vs.d	. . . 4 |- D = (LDual ` W )
4		eqid 2442	. . . 4 |- (Scalar ` D ) = (Scalar ` D )
5		eqid 2442	. . . 4 |- ( 0g ` (Scalar ` D ) ) = ( 0g ` (Scalar ` D ) )
6		ldual0vs.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldual0 30043	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` (Scalar ` D ) ) = .0. )
8	7	oveq1d 6125	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = ( .0. .x. G ) )
9	3, 6	lduallmod 30049	. . 3 |- ( ph -> D e. LMod )
10		ldual0vs.f	. . . 4 |- F = (LFnl ` W )
11		eqid 2442	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
12		ldual0vs.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. F )
13	10, 3, 11, 6, 12	ldualelvbase 30023	. . 3 |- ( ph -> G e. ( Base ` D ) )
14		ldual0vs.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` D )
15		ldual0vs.o	. . . 4 |- O = ( 0g ` D )
16	11, 4, 14, 5, 15	lmod0vs 16014	. . 3 |- ( ( D e. LMod /\ G e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = O )
17	9, 13, 16	syl2anc 644	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = O )
18	8, 17	eqtr3d 2476	1 |- ( ph -> ( .0. .x. G ) = O )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1653   e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   0gc0g 13754   LModclmod 15981  LFnlclfn 29953  LDualcld 30019

This theorem is referenced by:  lkrss2N  30065  lcfrlem33  32471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-lmod 15983  df-lfl 29954  df-ldual 30020