Theorem ldual0vs 29350

Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0vs.f	|- F = (LFnl ` W )
ldual0vs.r	|- R = (Scalar ` W )
ldual0vs.z	|- .0. = ( 0g ` R )
ldual0vs.d	|- D = (LDual ` W )
ldual0vs.t	|- .x. = ( .s ` D )
ldual0vs.o	|- O = ( 0g ` D )
ldual0vs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
ldual0vs.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
ldual0vs	|- ( ph -> ( .0. .x. G ) = O )

Proof of Theorem ldual0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0vs.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` W )
2		ldual0vs.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3		ldual0vs.d	. . . 4 |- D = (LDual ` W )
4		eqid 2283	. . . 4 |- (Scalar ` D ) = (Scalar ` D )
5		eqid 2283	. . . 4 |- ( 0g ` (Scalar ` D ) ) = ( 0g ` (Scalar ` D ) )
6		ldual0vs.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldual0 29337	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` (Scalar ` D ) ) = .0. )
8	7	oveq1d 5873	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = ( .0. .x. G ) )
9	3, 6	lduallmod 29343	. . 3 |- ( ph -> D e. LMod )
10		ldual0vs.f	. . . 4 |- F = (LFnl ` W )
11		eqid 2283	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
12		ldual0vs.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. F )
13	10, 3, 11, 6, 12	ldualelvbase 29317	. . 3 |- ( ph -> G e. ( Base ` D ) )
14		ldual0vs.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` D )
15		ldual0vs.o	. . . 4 |- O = ( 0g ` D )
16	11, 4, 14, 5, 15	lmod0vs 15663	. . 3 |- ( ( D e. LMod /\ G e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = O )
17	9, 13, 16	syl2anc 642	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = O )
18	8, 17	eqtr3d 2317	1 |- ( ph -> ( .0. .x. G ) = O )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1623   e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LModclmod 15627  LFnlclfn 29247  LDualcld 29313

This theorem is referenced by:  lkrss2N  29359  lcfrlem33  31765

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-lmod 15629  df-lfl 29248  df-ldual 29314