Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0vs Unicode version

Theorem ldual0vs 29419
Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual0vs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldual0vs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldual0vs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ldual0vs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldual0vs.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldual0vs.o  |-  O  =  ( 0g `  D
)
ldual0vs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldual0vs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldual0vs  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  O )

Proof of Theorem ldual0vs
StepHypRef Expression
1 ldual0vs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
2 ldual0vs.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 ldual0vs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
4 eqid 2358 . . . 4  |-  (Scalar `  D )  =  (Scalar `  D )
5 eqid 2358 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  D )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  D )
)
6 ldual0vs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
71, 2, 3, 4, 5, 6ldual0 29406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  D ) )  =  .0.  )
87oveq1d 5960 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  D ) ) 
.x.  G )  =  (  .0.  .x.  G
) )
93, 6lduallmod 29412 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
10 ldual0vs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
11 eqid 2358 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
12 ldual0vs.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1310, 3, 11, 6, 12ldualelvbase 29386 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  D ) )
14 ldual0vs.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
15 ldual0vs.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  D
)
1611, 4, 14, 5, 15lmod0vs 15762 . . 3  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  G  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  D ) )  .x.  G )  =  O )
179, 13, 16syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  D ) ) 
.x.  G )  =  O )
188, 17eqtr3d 2392 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   0gc0g 13499   LModclmod 15726  LFnlclfn 29316  LDualcld 29382
This theorem is referenced by:  lkrss2N  29428  lcfrlem33  31834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-lmod 15728  df-lfl 29317  df-ldual 29383
  Copyright terms: Public domain W3C validator