Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0vs Unicode version

Theorem ldual0vs 29647
Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual0vs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldual0vs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldual0vs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ldual0vs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldual0vs.t  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldual0vs.o  |-  O  =  ( 0g `  D
)
ldual0vs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldual0vs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldual0vs  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  O )

Proof of Theorem ldual0vs
StepHypRef Expression
1 ldual0vs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
2 ldual0vs.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 ldual0vs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
4 eqid 2408 . . . 4  |-  (Scalar `  D )  =  (Scalar `  D )
5 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  D )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  D )
)
6 ldual0vs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
71, 2, 3, 4, 5, 6ldual0 29634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  D ) )  =  .0.  )
87oveq1d 6059 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  D ) ) 
.x.  G )  =  (  .0.  .x.  G
) )
93, 6lduallmod 29640 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
10 ldual0vs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
11 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
12 ldual0vs.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1310, 3, 11, 6, 12ldualelvbase 29614 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  D ) )
14 ldual0vs.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
15 ldual0vs.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  D
)
1611, 4, 14, 5, 15lmod0vs 15942 . . 3  |-  ( ( D  e.  LMod  /\  G  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  D ) )  .x.  G )  =  O )
179, 13, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  (Scalar `  D ) ) 
.x.  G )  =  O )
188, 17eqtr3d 2442 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   0gc0g 13682   LModclmod 15909  LFnlclfn 29544  LDualcld 29610
This theorem is referenced by:  lkrss2N  29656  lcfrlem33  32062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-lmod 15911  df-lfl 29545  df-ldual 29611
  Copyright terms: Public domain W3C validator