Theorem ldual0vs 29647

Description: Scalar zero times a functional is the zero functional. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0vs.f	|- F = (LFnl ` W )
ldual0vs.r	|- R = (Scalar ` W )
ldual0vs.z	|- .0. = ( 0g ` R )
ldual0vs.d	|- D = (LDual ` W )
ldual0vs.t	|- .x. = ( .s ` D )
ldual0vs.o	|- O = ( 0g ` D )
ldual0vs.w	|- ( ph -> W e. LMod )
ldual0vs.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
ldual0vs	|- ( ph -> ( .0. .x. G ) = O )

Proof of Theorem ldual0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0vs.r	. . . 4 |- R = (Scalar ` W )
2		ldual0vs.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
3		ldual0vs.d	. . . 4 |- D = (LDual ` W )
4		eqid 2408	. . . 4 |- (Scalar ` D ) = (Scalar ` D )
5		eqid 2408	. . . 4 |- ( 0g ` (Scalar ` D ) ) = ( 0g ` (Scalar ` D ) )
6		ldual0vs.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ldual0 29634	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` (Scalar ` D ) ) = .0. )
8	7	oveq1d 6059	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = ( .0. .x. G ) )
9	3, 6	lduallmod 29640	. . 3 |- ( ph -> D e. LMod )
10		ldual0vs.f	. . . 4 |- F = (LFnl ` W )
11		eqid 2408	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
12		ldual0vs.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. F )
13	10, 3, 11, 6, 12	ldualelvbase 29614	. . 3 |- ( ph -> G e. ( Base ` D ) )
14		ldual0vs.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` D )
15		ldual0vs.o	. . . 4 |- O = ( 0g ` D )
16	11, 4, 14, 5, 15	lmod0vs 15942	. . 3 |- ( ( D e. LMod /\ G e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = O )
17	9, 13, 16	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( ( 0g ` (Scalar ` D ) ) .x. G ) = O )
18	8, 17	eqtr3d 2442	1 |- ( ph -> ( .0. .x. G ) = O )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   0gc0g 13682   LModclmod 15909  LFnlclfn 29544  LDualcld 29610

This theorem is referenced by:  lkrss2N  29656  lcfrlem33  32062

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-lmod 15911  df-lfl 29545  df-ldual 29611