Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual1dim Structured version   Unicode version

Theorem ldual1dim 30026
 Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldual1dim.f LFnl
ldual1dim.l LKer
ldual1dim.d LDual
ldual1dim.n
ldual1dim.w
ldual1dim.g
Assertion
Ref Expression
ldual1dim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ldual1dim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3 ldual1dim.d . . . . . . . 8 LDual
4 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
5 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
6 ldual1dim.w . . . . . . . 8
71, 2, 3, 4, 5, 6ldualsbase 29993 . . . . . . 7 Scalar Scalar
87eleq2d 2505 . . . . . 6 Scalar Scalar
98anbi1d 687 . . . . 5 Scalar Scalar
10 ldual1dim.f . . . . . . . 8 LFnl
11 eqid 2438 . . . . . . . 8
12 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
13 eqid 2438 . . . . . . . 8
146adantr 453 . . . . . . . 8 Scalar
15 simpr 449 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
16 ldual1dim.g . . . . . . . . 9
1716adantr 453 . . . . . . . 8 Scalar
1810, 11, 1, 2, 12, 3, 13, 14, 15, 17ldualvs 29997 . . . . . . 7 Scalar Scalar
1918eqeq2d 2449 . . . . . 6 Scalar Scalar
2019pm5.32da 624 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
219, 20bitrd 246 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
2221rexbidv2 2730 . . 3 Scalar Scalar Scalar
2322abbidv 2552 . 2 Scalar Scalar Scalar
24 lveclmod 16180 . . . . 5
253, 24lduallmod 30013 . . . 4
266, 25syl 16 . . 3
27 eqid 2438 . . . 4
2810, 3, 27, 6, 16ldualelvbase 29987 . . 3
29 ldual1dim.n . . . 4
304, 5, 27, 13, 29lspsn 16080 . . 3 Scalar
3126, 28, 30syl2anc 644 . 2 Scalar
32 ldual1dim.l . . 3 LKer
3311, 1, 10, 32, 2, 12, 6, 16lfl1dim 29981 . 2 Scalar Scalar
3423, 31, 333eqtr4d 2480 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wrex 2708  crab 2711   wss 3322  csn 3816   cxp 4878  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cbs 13471  cmulr 13532  Scalarcsca 13534  cvsca 13535  clmod 15952  clspn 16049  clvec 16176  LFnlclfn 29917  LKerclk 29945  LDualcld 29983 This theorem is referenced by:  mapdsn3  32503 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lshyp 29837  df-lfl 29918  df-lkr 29946  df-ldual 29984
 Copyright terms: Public domain W3C validator