Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvs Structured version   Unicode version

Theorem ldualfvs 30032
Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualfvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ldualfvs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualfvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualfvs.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualfvs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualfvs.s  |-  .xb  =  ( .s `  D )
ldualfvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
ldualfvs.m  |-  .x.  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ldualfvs  |-  ( ph  -> 
.xb  =  .x.  )
Distinct variable groups:    f, k, F    f, K, k    .X. , f,
k    f, V, k    f, W, k
Allowed substitution hints:    ph( f, k)    D( f, k)    R( f, k)    .xb ( f, k)    .x. ( f,
k)    Y( f, k)

Proof of Theorem ldualfvs
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2442 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
3 eqid 2442 . . . 4  |-  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( F  X.  F ) )  =  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( F  X.  F
) )
4 ldualfvs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 ldualfvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
6 ldualfvs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
7 ldualfvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
8 ldualfvs.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
9 eqid 2442 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
10 eqid 2442 . . . 4  |-  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) )
11 ldualfvs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 30021 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( F  X.  F ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr
`  R ) >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } ) )
1312fveq2d 5761 . 2  |-  ( ph  ->  ( .s `  D
)  =  ( .s
`  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( F  X.  F
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr `  R ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } ) ) )
14 ldualfvs.s . 2  |-  .xb  =  ( .s `  D )
15 ldualfvs.m . . 3  |-  .x.  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) )
16 fvex 5771 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
177, 16eqeltri 2512 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
18 fvex 5771 . . . . . 6  |-  (LFnl `  W )  e.  _V
194, 18eqeltri 2512 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
2017, 19mpt2ex 6454 . . . 4  |-  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  e. 
_V
21 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( F  X.  F ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr
`  R ) >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R )  |`  ( F  X.  F
) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr `  R ) >. }  u.  {
<. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } )
2221lmodvsca 13628 . . . 4  |-  ( ( k  e.  K , 
f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  e.  _V  ->  (
k  e.  K , 
f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  =  ( .s `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( F  X.  F ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr
`  R ) >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } ) ) )
2320, 22ax-mp 5 . . 3  |-  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  =  ( .s `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( F  X.  F ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr
`  R ) >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } ) )
2415, 23eqtri 2462 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F ( +g  `  R
)  |`  ( F  X.  F ) ) >. ,  <. (Scalar `  ndx ) ,  (oppr
`  R ) >. }  u.  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) >. } ) )
2513, 14, 243eqtr4g 2499 1  |-  ( ph  -> 
.xb  =  .x.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962    u. cun 3304   {csn 3838   {ctp 3840   <.cop 3841    X. cxp 4905    |` cres 4909   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112    o Fcof 6332   ndxcnx 13497   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   .rcmulr 13561  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564  opprcoppr 15758  LFnlclfn 29953  LDualcld 30019
This theorem is referenced by:  ldualvs  30033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-ldual 30020
  Copyright terms: Public domain W3C validator