Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvaddcl Unicode version

Theorem ldualvaddcl 29391
Description: The value of vector addition in the dual of a vector space is a functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvaddcl.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvaddcl.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvaddcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  D )
ldualvaddcl.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvaddcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
ldualvaddcl.h  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvaddcl  |-  ( ph  ->  ( G  .+  H
)  e.  F )

Proof of Theorem ldualvaddcl
StepHypRef Expression
1 ldualvaddcl.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
2 eqid 2366 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 eqid 2366 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
4 ldualvaddcl.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  W )
5 ldualvaddcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  D )
6 ldualvaddcl.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 ldualvaddcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
8 ldualvaddcl.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  F )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ldualvadd 29390 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .+  H
)  =  ( G  o F ( +g  `  (Scalar `  W )
) H ) )
102, 3, 1, 6, 7, 8lfladdcl 29332 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o F ( +g  `  (Scalar `  W ) ) H )  e.  F )
119, 10eqeltrd 2440 1  |-  ( ph  ->  ( G  .+  H
)  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   +g cplusg 13416  Scalarcsca 13419   LModclmod 15837  LFnlclfn 29318  LDualcld 29384
This theorem is referenced by:  ldualvsdi1  29404  ldualgrplem  29406  ldualvsubcl  29417  lkrin  29425  lclkrlem2e  31772  lclkrlem2f  31773  lclkrlem2h  31775  lclkrlem2m  31780  lclkrlem2n  31781  lclkrlem2o  31782  lclkrlem2p  31783  lclkrlem2s  31786  lclkrlem2v  31789  lclkrlem2  31793  lclkrslem2  31799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-lmod 15839  df-lfl 29319  df-ldual 29385
  Copyright terms: Public domain W3C validator