Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvbase Unicode version

Theorem ldualvbase 29540
 Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvbase.f LFnl
ldualvbase.d LDual
ldualvbase.v
ldualvbase.w
Assertion
Ref Expression
ldualvbase

Proof of Theorem ldualvbase
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4
2 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
4 ldualvbase.f . . . 4 LFnl
5 ldualvbase.d . . . 4 LDual
6 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
7 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
8 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar
9 eqid 2402 . . . 4 opprScalar opprScalar
10 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
11 ldualvbase.w . . . 4
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 29539 . . 3 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1312fveq2d 5689 . 2 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
14 ldualvbase.v . 2
15 fvex 5699 . . . 4 LFnl
164, 15eqeltri 2472 . . 3
17 eqid 2402 . . . 4 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1817lmodbase 13545 . . 3 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1916, 18ax-mp 8 . 2 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
2013, 14, 193eqtr4g 2459 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2914   cun 3276  csn 3772  ctp 3774  cop 3775   cxp 4833   cres 4837  cfv 5411  (class class class)co 6038   cmpt2 6040   cof 6260  cnx 13417  cbs 13420   cplusg 13480  cmulr 13481  Scalarcsca 13483  cvsca 13484  opprcoppr 15678  LFnlclfn 29471  LDualcld 29537 This theorem is referenced by:  ldualelvbase  29541  ldualgrplem  29559  lduallmodlem  29566  lclkr  31947  lclkrs  31953  lcfrvalsnN  31955  lcfrlem4  31959  lcfrlem5  31960  lcfrlem6  31961  lcfrlem16  31972  lcfr  31999  lcdvbase  32007  mapdunirnN  32064 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2383  ax-sep 4288  ax-nul 4296  ax-pow 4335  ax-pr 4361  ax-un 4658  ax-cnex 9000  ax-resscn 9001  ax-1cn 9002  ax-icn 9003  ax-addcl 9004  ax-addrcl 9005  ax-mulcl 9006  ax-mulrcl 9007  ax-mulcom 9008  ax-addass 9009  ax-mulass 9010  ax-distr 9011  ax-i2m1 9012  ax-1ne0 9013  ax-1rid 9014  ax-rnegex 9015  ax-rrecex 9016  ax-cnre 9017  ax-pre-lttri 9018  ax-pre-lttrn 9019  ax-pre-ltadd 9020  ax-pre-mulgt0 9021 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2389  df-cleq 2395  df-clel 2398  df-nfc 2527  df-ne 2567  df-nel 2568  df-ral 2669  df-rex 2670  df-reu 2671  df-rab 2673  df-v 2916  df-sbc 3120  df-csb 3210  df-dif 3281  df-un 3283  df-in 3285  df-ss 3292  df-pss 3294  df-nul 3587  df-if 3698  df-pw 3759  df-sn 3778  df-pr 3779  df-tp 3780  df-op 3781  df-uni 3974  df-int 4009  df-iun 4053  df-br 4171  df-opab 4225  df-mpt 4226  df-tr 4261  df-eprel 4452  df-id 4456  df-po 4461  df-so 4462  df-fr 4499  df-we 4501  df-ord 4542  df-on 4543  df-lim 4544  df-suc 4545  df-om 4803  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5375  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-ov 6041  df-oprab 6042  df-mpt2 6043  df-of 6262  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-riota 6506  df-recs 6590  df-rdg 6625  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6862  df-en 7067  df-dom 7068  df-sdom 7069  df-fin 7070  df-pnf 9076  df-mnf 9077  df-xr 9078  df-ltxr 9079  df-le 9080  df-sub 9247  df-neg 9248  df-nn 9955  df-2 10012  df-3 10013  df-4 10014  df-5 10015  df-6 10016  df-n0 10176  df-z 10237  df-uz 10443  df-fz 10998  df-struct 13422  df-ndx 13423  df-slot 13424  df-base 13425  df-plusg 13493  df-sca 13496  df-vsca 13497  df-ldual 29538
 Copyright terms: Public domain W3C validator