Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvbase Structured version   Unicode version

Theorem ldualvbase 29925
 Description: The vectors of a dual space are functionals of the original space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvbase.f LFnl
ldualvbase.d LDual
ldualvbase.v
ldualvbase.w
Assertion
Ref Expression
ldualvbase

Proof of Theorem ldualvbase
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . . 4
2 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar
3 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar
4 ldualvbase.f . . . 4 LFnl
5 ldualvbase.d . . . 4 LDual
6 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar
7 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar
8 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar
9 eqid 2437 . . . 4 opprScalar opprScalar
10 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
11 ldualvbase.w . . . 4
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 29924 . . 3 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1312fveq2d 5733 . 2 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
14 ldualvbase.v . 2
15 fvex 5743 . . . 4 LFnl
164, 15eqeltri 2507 . . 3
17 eqid 2437 . . . 4 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1817lmodbase 13595 . . 3 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
1916, 18ax-mp 8 . 2 Scalar Scalar opprScalar Scalar Scalar
2013, 14, 193eqtr4g 2494 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2957   cun 3319  csn 3815  ctp 3817  cop 3818   cxp 4877   cres 4881  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmpt2 6084   cof 6304  cnx 13467  cbs 13470   cplusg 13530  cmulr 13531  Scalarcsca 13533  cvsca 13534  opprcoppr 15728  LFnlclfn 29856  LDualcld 29922 This theorem is referenced by:  ldualelvbase  29926  ldualgrplem  29944  lduallmodlem  29951  lclkr  32332  lclkrs  32338  lcfrvalsnN  32340  lcfrlem4  32344  lcfrlem5  32345  lcfrlem6  32346  lcfrlem16  32357  lcfr  32384  lcdvbase  32392  mapdunirnN  32449 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-plusg 13543  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-ldual 29923
 Copyright terms: Public domain W3C validator