Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvs Structured version   Unicode version

Theorem ldualvs 29862
Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualfvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ldualfvs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualfvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualfvs.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualfvs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualfvs.s  |-  .xb  =  ( .s `  D )
ldualfvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
ldualvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvs  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )

Proof of Theorem ldualvs
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
2 ldualfvs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 ldualfvs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 ldualfvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 ldualfvs.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 ldualfvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
7 ldualfvs.s . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  D )
8 ldualfvs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
9 eqid 2435 . . . 4  |-  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualfvs 29861 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) )
1110oveqd 6090 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G ) )
12 ldualvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
13 ldualvs.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
14 sneq 3817 . . . . . 6  |-  ( k  =  X  ->  { k }  =  { X } )
1514xpeq2d 4894 . . . . 5  |-  ( k  =  X  ->  ( V  X.  { k } )  =  ( V  X.  { X }
) )
1615oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( k  =  X  ->  (
f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) )  =  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) )
17 oveq1 6080 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
f  o F  .X.  ( V  X.  { X } ) )  =  ( G  o F 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) )
18 ovex 6098 . . . 4  |-  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) )  e.  _V
1916, 17, 9, 18ovmpt2 6201 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  G  e.  F )  ->  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G )  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
2012, 13, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G )  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
2111, 20eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075    o Fcof 6295   Basecbs 13461   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525  LFnlclfn 29782  LDualcld 29848
This theorem is referenced by:  ldualvsval  29863  ldualvscl  29864  ldualvsass  29866  ldualvsdi1  29868  ldualvsdi2  29869  lduallmodlem  29877  eqlkr4  29890  ldual1dim  29891  ldualkrsc  29892  lkrss  29893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-ldual 29849
  Copyright terms: Public domain W3C validator