Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvs Unicode version

Theorem ldualvs 29254
Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualfvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ldualfvs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualfvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualfvs.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualfvs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualfvs.s  |-  .xb  =  ( .s `  D )
ldualfvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
ldualvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvs  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )

Proof of Theorem ldualvs
Dummy variables  f 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
2 ldualfvs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 ldualfvs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 ldualfvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 ldualfvs.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 ldualfvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
7 ldualfvs.s . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  D )
8 ldualfvs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
9 eqid 2389 . . . 4  |-  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) )  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualfvs 29253 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) )
1110oveqd 6039 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G ) )
12 ldualvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
13 ldualvs.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
14 sneq 3770 . . . . . 6  |-  ( k  =  X  ->  { k }  =  { X } )
1514xpeq2d 4844 . . . . 5  |-  ( k  =  X  ->  ( V  X.  { k } )  =  ( V  X.  { X }
) )
1615oveq2d 6038 . . . 4  |-  ( k  =  X  ->  (
f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) )  =  ( f  o F 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) )
17 oveq1 6029 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
f  o F  .X.  ( V  X.  { X } ) )  =  ( G  o F 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) )
18 ovex 6047 . . . 4  |-  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) )  e.  _V
1916, 17, 9, 18ovmpt2 6150 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  G  e.  F )  ->  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G )  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
2012, 13, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( X ( k  e.  K ,  f  e.  F  |->  ( f  o F  .X.  ( V  X.  { k } ) ) ) G )  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
2111, 20eqtrd 2421 1  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3759    X. cxp 4818   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    e. cmpt2 6024    o Fcof 6244   Basecbs 13398   .rcmulr 13459  Scalarcsca 13461   .scvsca 13462  LFnlclfn 29174  LDualcld 29240
This theorem is referenced by:  ldualvsval  29255  ldualvscl  29256  ldualvsass  29258  ldualvsdi1  29260  ldualvsdi2  29261  lduallmodlem  29269  eqlkr4  29282  ldual1dim  29283  ldualkrsc  29284  lkrss  29285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-plusg 13471  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-ldual 29241
  Copyright terms: Public domain W3C validator