Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass Unicode version

Theorem ldualvsass 29402
Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualvsass.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualvsass.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsass.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvsass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
ldualvsass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsass  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem ldualvsass
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 ldualvsass.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 ldualvsass.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 ldualvsass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
5 ldualvsass.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 ldualvsass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 ldualvsass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
8 ldualvsass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
9 ldualvsass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lflvsass 29342 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  {
( Y  .X.  X
) } ) )  =  ( ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { X } ) ) )
11 ldualvsass.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
12 ldualvsass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
132lmodrng 15845 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
146, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
153, 4rngcl 15564 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( Y  .X.  X )  e.  K )
1614, 7, 8, 15syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  e.  K )
175, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9ldualvs 29398 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { ( Y  .X.  X ) } ) ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7lflvscl 29338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  e.  F )
195, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18ldualvs 29398 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )  =  ( ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X. 
{ X } ) ) )
2010, 17, 193eqtr4d 2408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) ) ) )
215, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9ldualvs 29398 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )
2221oveq2d 5997 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Y  .x.  G ) )  =  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { Y } ) ) ) )
2320, 22eqtr4d 2401 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   {csn 3729    X. cxp 4790   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   Basecbs 13356   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   Ringcrg 15547   LModclmod 15837  LFnlclfn 29318  LDualcld 29384
This theorem is referenced by:  ldualvsass2  29403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-lmod 15839  df-lfl 29319  df-ldual 29385
  Copyright terms: Public domain W3C validator