Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass Unicode version

Theorem ldualvsass 29331
Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualvsass.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualvsass.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsass.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvsass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
ldualvsass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsass  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem ldualvsass
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 ldualvsass.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 ldualvsass.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 ldualvsass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
5 ldualvsass.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 ldualvsass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 ldualvsass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
8 ldualvsass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
9 ldualvsass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lflvsass 29271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  {
( Y  .X.  X
) } ) )  =  ( ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { X } ) ) )
11 ldualvsass.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
12 ldualvsass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
132lmodrng 15635 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
146, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
153, 4rngcl 15354 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( Y  .X.  X )  e.  K )
1614, 7, 8, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  e.  K )
175, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9ldualvs 29327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { ( Y  .X.  X ) } ) ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7lflvscl 29267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  e.  F )
195, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18ldualvs 29327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )  =  ( ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X. 
{ X } ) ) )
2010, 17, 193eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) ) ) )
215, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9ldualvs 29327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )
2221oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Y  .x.  G ) )  =  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { Y } ) ) ) )
2320, 22eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   Ringcrg 15337   LModclmod 15627  LFnlclfn 29247  LDualcld 29313
This theorem is referenced by:  ldualvsass2  29332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-lmod 15629  df-lfl 29248  df-ldual 29314
  Copyright terms: Public domain W3C validator