Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsass 30013
Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualvsass.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualvsass.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsass.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvsass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
ldualvsass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsass  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem ldualvsass
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 ldualvsass.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 ldualvsass.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 ldualvsass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
5 ldualvsass.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 ldualvsass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 ldualvsass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
8 ldualvsass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
9 ldualvsass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lflvsass 29953 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  {
( Y  .X.  X
) } ) )  =  ( ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { X } ) ) )
11 ldualvsass.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
12 ldualvsass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
132lmodrng 15963 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
153, 4rngcl 15682 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( Y  .X.  X )  e.  K )
1614, 7, 8, 15syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  e.  K )
175, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9ldualvs 30009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { ( Y  .X.  X ) } ) ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7lflvscl 29949 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  e.  F )
195, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18ldualvs 30009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )  =  ( ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X. 
{ X } ) ) )
2010, 17, 193eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) ) ) )
215, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9ldualvs 30009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )
2221oveq2d 6100 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Y  .x.  G ) )  =  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { Y } ) ) ) )
2320, 22eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   Basecbs 13474   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   Ringcrg 15665   LModclmod 15955  LFnlclfn 29929  LDualcld 29995
This theorem is referenced by:  ldualvsass2  30014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-lmod 15957  df-lfl 29930  df-ldual 29996
  Copyright terms: Public domain W3C validator