Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass Unicode version

Theorem ldualvsass 29628
Description: Associative law for scalar product operation. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsass.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsass.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualvsass.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualvsass.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsass.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsass.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvsass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
ldualvsass.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsass  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem ldualvsass
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 ldualvsass.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 ldualvsass.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 ldualvsass.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
5 ldualvsass.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 ldualvsass.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 ldualvsass.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
8 ldualvsass.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
9 ldualvsass.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lflvsass 29568 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  {
( Y  .X.  X
) } ) )  =  ( ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { X } ) ) )
11 ldualvsass.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
12 ldualvsass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
132lmodrng 15917 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
153, 4rngcl 15636 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  K  /\  X  e.  K )  ->  ( Y  .X.  X )  e.  K )
1614, 7, 8, 15syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .X.  X
)  e.  K )
175, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 16, 9ldualvs 29624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { ( Y  .X.  X ) } ) ) )
181, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 7lflvscl 29564 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  e.  F )
195, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 8, 18ldualvs 29624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )  =  ( ( G  o F 
.X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) )  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X. 
{ X } ) ) )
2010, 17, 193eqtr4d 2450 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W )  X.  { Y } ) ) ) )
215, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 6, 7, 9ldualvs 29624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .x.  G
)  =  ( G  o F  .X.  (
( Base `  W )  X.  { Y } ) ) )
2221oveq2d 6060 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  ( Y  .x.  G ) )  =  ( X  .x.  ( G  o F  .X.  ( ( Base `  W
)  X.  { Y } ) ) ) )
2320, 22eqtr4d 2443 1  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .X.  X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3778    X. cxp 4839   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    o Fcof 6266   Basecbs 13428   .rcmulr 13489  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   Ringcrg 15619   LModclmod 15909  LFnlclfn 29544  LDualcld 29610
This theorem is referenced by:  ldualvsass2  29629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-plusg 13501  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-lmod 15911  df-lfl 29545  df-ldual 29611
  Copyright terms: Public domain W3C validator