Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass2 Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsass2 30038
Description: Associative law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass2.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsass2.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsass2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualvsass2.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsass2.q  |-  Q  =  (Scalar `  D )
ldualvsass2.t  |-  .X.  =  ( .r `  Q )
ldualvsass2.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsass2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsass2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvsass2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
ldualvsass2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsass2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem ldualvsass2
StepHypRef Expression
1 ldualvsass2.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
2 ldualvsass2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2442 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 ldualvsass2.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
5 ldualvsass2.q . . . 4  |-  Q  =  (Scalar `  D )
6 ldualvsass2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  Q )
7 ldualvsass2.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 ldualvsass2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
9 ldualvsass2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualsmul 30031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y ( .r `  R
) X ) )
1110oveq1d 6125 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .x.  G
)  =  ( ( Y ( .r `  R ) X ) 
.x.  G ) )
12 ldualvsass2.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
13 ldualvsass2.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  D )
14 ldualvsass2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1512, 1, 2, 3, 4, 13, 7, 8, 9, 14ldualvsass 30037 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y ( .r `  R ) X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
1611, 15eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   .rcmulr 13561  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   LModclmod 15981  LFnlclfn 29953  LDualcld 30019
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  30048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-oppr 15759  df-lmod 15983  df-lfl 29954  df-ldual 30020
  Copyright terms: Public domain W3C validator