Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsass2 Unicode version

Theorem ldualvsass2 29384
Description: Associative law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsass2.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualvsass2.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualvsass2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualvsass2.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualvsass2.q  |-  Q  =  (Scalar `  D )
ldualvsass2.t  |-  .X.  =  ( .r `  Q )
ldualvsass2.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
ldualvsass2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
ldualvsass2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvsass2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
ldualvsass2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
ldualvsass2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )

Proof of Theorem ldualvsass2
StepHypRef Expression
1 ldualvsass2.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
2 ldualvsass2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2358 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 ldualvsass2.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
5 ldualvsass2.q . . . 4  |-  Q  =  (Scalar `  D )
6 ldualvsass2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  Q )
7 ldualvsass2.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 ldualvsass2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
9 ldualvsass2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualsmul 29377 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( Y ( .r `  R
) X ) )
1110oveq1d 5957 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .x.  G
)  =  ( ( Y ( .r `  R ) X ) 
.x.  G ) )
12 ldualvsass2.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
13 ldualvsass2.s . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  D )
14 ldualvsass2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
1512, 1, 2, 3, 4, 13, 7, 8, 9, 14ldualvsass 29383 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y ( .r `  R ) X )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
1611, 15eqtrd 2390 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .x.  G
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   .rcmulr 13300  Scalarcsca 13302   .scvsca 13303   LModclmod 15720  LFnlclfn 29299  LDualcld 29365
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  29394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-oppr 15498  df-lmod 15722  df-lfl 29300  df-ldual 29366
  Copyright terms: Public domain W3C validator