Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsub Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsub 29854
 Description: The value of vector subtraction in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsub.r Scalar
ldualvsub.n
ldualvsub.u
ldualvsub.f LFnl
ldualvsub.d LDual
ldualvsub.p
ldualvsub.t
ldualvsub.m
ldualvsub.w
ldualvsub.g
ldualvsub.h
Assertion
Ref Expression
ldualvsub

Proof of Theorem ldualvsub
StepHypRef Expression
1 ldualvsub.d . . . 4 LDual
2 ldualvsub.w . . . 4
31, 2lduallmod 29852 . . 3
4 ldualvsub.f . . . 4 LFnl
5 eqid 2435 . . . 4
6 ldualvsub.g . . . 4
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 29826 . . 3
8 ldualvsub.h . . . 4
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 29826 . . 3
10 ldualvsub.p . . . 4
11 ldualvsub.m . . . 4
12 eqid 2435 . . . 4 Scalar Scalar
13 ldualvsub.t . . . 4
14 eqid 2435 . . . 4 Scalar Scalar
15 eqid 2435 . . . 4 Scalar Scalar
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 15989 . . 3 ScalarScalar
173, 7, 9, 16syl3anc 1184 . 2 ScalarScalar
18 ldualvsub.r . . . . . . . 8 Scalar
19 eqid 2435 . . . . . . . 8 oppr oppr
2018, 19, 1, 12, 2ldualsca 29831 . . . . . . 7 Scalar oppr
2120fveq2d 5724 . . . . . 6 Scalar oppr
22 ldualvsub.n . . . . . . 7
2319, 22opprneg 15730 . . . . . 6 oppr
2421, 23syl6reqr 2486 . . . . 5 Scalar
2520fveq2d 5724 . . . . . 6 Scalar oppr
26 ldualvsub.u . . . . . . 7
2719, 26oppr1 15729 . . . . . 6 oppr
2825, 27syl6reqr 2486 . . . . 5 Scalar
2924, 28fveq12d 5726 . . . 4 ScalarScalar
3029oveq1d 6088 . . 3 ScalarScalar
3130oveq2d 6089 . 2 ScalarScalar
3217, 31eqtr4d 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13459   cplusg 13519  Scalarcsca 13522  cvsca 13523  cminusg 14676  csg 14678  cur 15652  opprcoppr 15717  clmod 15940  LFnlclfn 29756  LDualcld 29822 This theorem is referenced by:  ldualvsubcl  29855  lcfrlem2  32242 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-lmod 15942  df-lfl 29757  df-ldual 29823
 Copyright terms: Public domain W3C validator