Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsval Structured version   Unicode version

Theorem ldualvsval 29936
Description: Value of scalar product operation value for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
ldualfvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ldualfvs.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
ldualfvs.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ldualfvs.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
ldualfvs.d  |-  D  =  (LDual `  W )
ldualfvs.s  |-  .xb  =  ( .s `  D )
ldualfvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
ldualvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
ldualvs.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
ldualvs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ldualvsval  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  G ) `  A
)  =  ( ( G `  A ) 
.X.  X ) )

Proof of Theorem ldualvsval
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
2 ldualfvs.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 ldualfvs.r . . . 4  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 ldualfvs.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
5 ldualfvs.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 ldualfvs.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
7 ldualfvs.s . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  D )
8 ldualfvs.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Y )
9 ldualvs.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
10 ldualvs.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ldualvs 29935 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .xb  G
)  =  ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X }
) ) )
1211fveq1d 5730 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  G ) `  A
)  =  ( ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X } ) ) `  A ) )
13 ldualvs.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
14 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
152, 14eqeltri 2506 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
173, 4, 2, 1lflf 29861 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Y  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
188, 10, 17syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
19 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  V )
21 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  ( G `  A )  =  ( G `  A ) )
2216, 9, 20, 21ofc2 6328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  V )  ->  (
( G  o F 
.X.  ( V  X.  { X } ) ) `
 A )  =  ( ( G `  A )  .X.  X
) )
2313, 22mpdan 650 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o F  .X.  ( V  X.  { X } ) ) `
 A )  =  ( ( G `  A )  .X.  X
) )
2412, 23eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  .xb  G ) `  A
)  =  ( ( G `  A ) 
.X.  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   {csn 3814    X. cxp 4876    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Basecbs 13469   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533  LFnlclfn 29855  LDualcld 29921
This theorem is referenced by:  ldualvsubval  29955  lcfrlem1  32340  lcdvsval  32402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-lfl 29856  df-ldual 29922
  Copyright terms: Public domain W3C validator