MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Unicode version

Theorem le2addd 9577
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
le2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
le2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
Assertion
Ref Expression
le2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
2 le2addd.6 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
3 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lt2addd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 le2add 9443 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
91, 2, 8mp2and 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   RRcr 8923    + caddc 8927    <_ cle 9055
This theorem is referenced by:  o1add  12335  o1sub  12337  o1fsum  12520  sadcaddlem  12897  4sqlem11  13251  4sqlem12  13252  4sqlem15  13255  4sqlem16  13256  prdsxmetlem  18307  nrmmetd  18494  nmotri  18645  pcoass  18921  minveclem2  19195  ovollb2lem  19252  ovolunlem1a  19260  ovoliunlem1  19266  nulmbl2  19299  ioombl1lem4  19323  uniioombllem5  19347  itg2splitlem  19508  itg2addlem  19518  ibladdlem  19579  ulmbdd  20182  cxpaddle  20504  ang180lem2  20520  fsumharmonic  20718  ppiub  20856  lgsdirprm  20981  lgsqrlem2  20994  lgseisenlem2  21002  2sqlem8  21024  vmadivsumb  21045  dchrisumlem2  21052  dchrisum0lem1b  21077  mulog2sumlem1  21096  mulog2sumlem2  21097  selbergb  21111  selberg2b  21114  chpdifbndlem1  21115  logdivbnd  21118  selberg3lem2  21120  pntrlog2bnd  21146  pntpbnd2  21149  pntibndlem2  21153  pntlemr  21164  ostth2lem2  21196  ostth3  21200  smcnlem  22042  minvecolem2  22226  stadd3i  23600  le2halvesd  23959  lgamgulmlem3  24595  lgamgulmlem5  24597  supadd  25949  itg2addnc  25960  ibladdnclem  25962  pell1qrgaplem  26628  pellqrex  26634  pellfundgt1  26638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060
  Copyright terms: Public domain W3C validator