MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addd Unicode version

Theorem le2addd 9390
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
le2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
le2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
Assertion
Ref Expression
le2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem le2addd
StepHypRef Expression
1 le2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
2 le2addd.6 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
3 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lt2addd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
7 le2add 9256 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
83, 4, 5, 6, 7syl22anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
91, 2, 8mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  o1add  12087  o1sub  12089  o1fsum  12271  sadcaddlem  12648  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem15  13006  4sqlem16  13007  prdsxmetlem  17932  nrmmetd  18097  nmotri  18248  pcoass  18522  minveclem2  18790  ovollb2lem  18847  ovolunlem1a  18855  ovoliunlem1  18861  nulmbl2  18894  ioombl1lem4  18918  uniioombllem5  18942  itg2splitlem  19103  itg2addlem  19113  ibladdlem  19174  ulmbdd  19775  cxpaddle  20092  ang180lem2  20108  fsumharmonic  20305  ppiub  20443  lgsdirprm  20568  lgsqrlem2  20581  lgseisenlem2  20589  2sqlem8  20611  vmadivsumb  20632  dchrisumlem2  20639  dchrisum0lem1b  20664  mulog2sumlem1  20683  mulog2sumlem2  20684  selbergb  20698  selberg2b  20701  chpdifbndlem1  20702  logdivbnd  20705  selberg3lem2  20707  pntrlog2bnd  20733  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemr  20751  ostth2lem2  20783  ostth3  20787  smcnlem  21270  minvecolem2  21454  stadd3i  22828  sqsscirc1  23292  pell1qrgaplem  26958  pellqrex  26964  pellfundgt1  26968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator