MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2addi Structured version   Unicode version

Theorem le2addi 9595
Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by NM, 16-Sep-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt_2.1  |-  A  e.  RR
lt_2.2  |-  B  e.  RR
lt_2.3  |-  C  e.  RR
lt.4  |-  D  e.  RR
Assertion
Ref Expression
le2addi  |-  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D )  -> 
( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem le2addi
StepHypRef Expression
1 lt_2.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt_2.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt_2.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lt.4 . 2  |-  D  e.  RR
5 le2add 9515 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <_  C  /\  B  <_  D
)  ->  ( A  +  B )  <_  ( C  +  D )
) )
61, 2, 3, 4, 5mp4an 656 1  |-  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D )  -> 
( A  +  B
)  <_  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994    + caddc 8998    <_ cle 9126
This theorem is referenced by:  hashunlei  11689  log2ublem1  20791  unierri  23612  ballotlem2  24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131
  Copyright terms: Public domain W3C validator