MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  le2sq2 Structured version   Unicode version

Theorem le2sq2 11450
Description: The square of a 'less than or equal to' ordering. (Contributed by NM, 21-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
le2sq2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) )

Proof of Theorem le2sq2
StepHypRef Expression
1 simprr 734 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  A  <_  B )
2 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
3 0re 9084 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
4 letr 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <_  B
) )
53, 4mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
)  ->  0  <_  B ) )
65exp4b 591 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( 0  <_  A  ->  ( A  <_  B  ->  0  <_  B ) ) ) )
76com23 74 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( B  e.  RR  ->  ( A  <_  B  ->  0  <_  B ) ) ) )
87imp43 579 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  0  <_  B )
92, 8jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
10 le2sq 11449 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <_  B  <->  ( A ^
2 )  <_  ( B ^ 2 ) ) )
119, 10syldan 457 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  ( A  <_  B  <->  ( A ^
2 )  <_  ( B ^ 2 ) ) )
121, 11mpbid 202 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )
)  ->  ( A ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4205  (class class class)co 6074   RRcr 8982   0cc0 8983    <_ cle 9114   2c2 10042   ^cexp 11375
This theorem is referenced by:  cos01gt0  12785  4sqlem12  13317  prmlem1  13423  prmlem2  13435  minveclem2  19320  minvecolem2  22370  hstle  23726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-seq 11317  df-exp 11376
  Copyright terms: Public domain W3C validator