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Theorem le2tri3i 9195
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
le2tri3i  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2 lt.3 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
3 lt.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
41, 2, 3letri 9194 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  <_  A )
53, 1letri3i 9181 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) )
65biimpri 198 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  ->  A  =  B )
74, 6sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  <_  B  /\  ( B  <_  C  /\  C  <_  A ) )  ->  A  =  B )
873impb 1149 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  B )
92, 3, 1letri 9194 . . . . . 6  |-  ( ( C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  C  <_  B )
101, 2letri3i 9181 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  <->  ( B  <_  C  /\  C  <_  B ) )
1110biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  B  =  C )
129, 11sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  ( C  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  B  =  C )
13123impb 1149 . . . 4  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  B  =  C )
14133comr 1161 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  =  C )
153, 1, 2letri 9194 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
163, 2letri3i 9181 . . . . . . 7  |-  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A ) )
1716biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  C )
1817eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
1915, 18sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  /\  C  <_  A
)  ->  C  =  A )
20193impa 1148 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
218, 14, 203jca 1134 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )
)
223eqlei 9175 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )
231eqlei 9175 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  B  <_  C )
242eqlei 9175 . . 3  |-  ( C  =  A  ->  C  <_  A )
2522, 23, 243anim123i 1139 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )  ->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A ) )
2621, 25impbii 181 1  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8981    <_ cle 9113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118
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