MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1 Unicode version

Theorem leadd1 9421
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
leadd1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C )
) )

Proof of Theorem leadd1
StepHypRef Expression
1 ltadd1 9420 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
213com12 1157 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  ( B  +  C )  <  ( A  +  C )
) )
32notbid 286 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  A  <->  -.  ( B  +  C )  <  ( A  +  C
) ) )
4 simp1 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 simp2 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
64, 5lenltd 9144 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
7 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
84, 7readdcld 9041 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  +  C )  e.  RR )
95, 7readdcld 9041 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
108, 9lenltd 9144 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  C
)  <_  ( B  +  C )  <->  -.  ( B  +  C )  <  ( A  +  C
) ) )
113, 6, 103bitr4d 277 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915    + caddc 8919    < clt 9046    <_ cle 9047
This theorem is referenced by:  leadd2  9422  lesubadd  9425  le2add  9435  leadd1i  9507  leadd1d  9545  zleltp1  10251  uzindOLD  10289  eluzp1p1  10436  eluzaddi  10437  icoshft  10944  iccshftr  10955  fzen  10997  fzaddel  11012  faclbnd6  11510  vdwlem3  13271  ovolunlem1a  19252  hstle  23574  stlei  23584  fznatpl1  24970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052
  Copyright terms: Public domain W3C validator