MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Unicode version

Theorem leadd1dd 9386
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 9366 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10346  xleadd1a  10573  fzoaddel  10906  fladdz  10950  bernneq3  11229  caucvgrlem  12145  eirrlem  12482  vdwlem3  13030  vdwlem9  13036  vdwlem10  13037  2expltfac  13105  pcoass  18522  minveclem2  18790  ovolfiniun  18860  ovolshftlem1  18868  unmbl  18895  uniioombllem5  18942  opnmbllem  18956  vitalilem2  18964  itg2split  19104  dvfsumlem2  19374  dvfsumlem4  19376  dvfsum2  19381  fta1glem2  19552  coemullem  19631  fta1lem  19687  leibpi  20238  log2tlbnd  20241  jensenlem2  20282  harmonicubnd  20303  harmonicbnd4  20304  ppiub  20443  bcmono  20516  bposlem5  20527  mulog2sumlem2  20684  selberg2lem  20699  chpdifbndlem1  20702  pntrlog2bndlem2  20727  pntpbnd2  20736  pntibndlem2  20740  pntlemg  20747  pntlemk  20755  pntlemo  20756  qabvle  20774  ostth2lem3  20784  minvecolem2  21454  dya2iocseg  23579  rescon  23777  trirn  26463  bfplem2  26547  pellexlem2  26915  rmygeid  27051  jm3.1lem2  27111  climsuselem1  27733  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator