MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd1dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd1dd 9640
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd1dd  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )

Proof of Theorem leadd1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd1d 9620 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  C )  <_  ( B  +  C ) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989    + caddc 8993    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10604  xleadd1a  10832  fzoaddel  11175  fladdz  11227  bernneq3  11507  caucvgrlem  12466  eirrlem  12803  vdwlem3  13351  vdwlem9  13357  vdwlem10  13358  2expltfac  13426  pcoass  19049  minveclem2  19327  ovolfiniun  19397  ovolshftlem1  19405  unmbl  19432  uniioombllem5  19479  opnmbllem  19493  vitalilem2  19501  itg2split  19641  dvfsumlem2  19911  dvfsumlem4  19913  dvfsum2  19918  fta1glem2  20089  coemullem  20168  fta1lem  20224  leibpi  20782  log2tlbnd  20785  jensenlem2  20826  harmonicubnd  20848  harmonicbnd4  20849  ppiub  20988  bcmono  21061  bposlem5  21072  mulog2sumlem2  21229  selberg2lem  21244  chpdifbndlem1  21247  pntrlog2bndlem2  21272  pntpbnd2  21281  pntibndlem2  21285  pntlemg  21292  pntlemk  21300  pntlemo  21301  qabvle  21319  ostth2lem3  21329  minvecolem2  22377  reofld  24280  dya2icoseg  24627  lgamgulmlem5  24817  lgambdd  24821  rescon  24933  supaddc  26237  opnmbllem0  26242  itg2addnclem3  26258  trirn  26457  bfplem2  26532  pellexlem2  26893  rmygeid  27029  jm3.1lem2  27089  climsuselem1  27709  stoweidlem1  27726  stoweidlem11  27736  stoweidlem14  27739  stoweidlem26  27751  stoweidlem44  27769  stirlinglem11  27809  ltdifltdiv  28148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator