MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leadd2dd Structured version   Unicode version

Theorem leadd2dd 9641
Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
leadd1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leadd2dd  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <_  ( C  +  B ) )

Proof of Theorem leadd2dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 leidd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltnegd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltadd1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
52, 3, 4leadd2d 9621 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( C  +  A )  <_  ( C  +  B ) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( C  +  A
)  <_  ( C  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989    + caddc 8993    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  11511  discr1  11515  hashun2  11657  abstri  12134  iseraltlem2  12476  prmreclem4  13287  tchcphlem1  19192  nulmbl2  19431  voliunlem1  19444  uniioombllem4  19478  itg2split  19641  ulmcn  20315  abslogle  20513  emcllem2  20835  chtublem  20995  chtub  20996  logfaclbnd  21006  bcmax  21062  chebbnd1lem2  21164  rplogsumlem1  21178  selberglem2  21240  selbergb  21243  chpdifbndlem1  21247  pntpbnd1a  21279  pntpbnd2  21281  pntibndlem2  21285  pntibndlem3  21286  pntlemg  21292  pntlemr  21296  pntlemk  21300  pntlemo  21301  ostth2lem3  21329  smcnlem  22193  minvecolem3  22378  staddi  23749  stadd3i  23751  lgambdd  24821  rescon  24933  itg2addnc  26259  ftc1anclem8  26287  trirn  26457  pell1qrgaplem  26936  stoweidlem11  27736  stoweidlem26  27751  stirlinglem8  27806  stirlinglem12  27810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator