MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leaddsub Structured version   Unicode version

Theorem leaddsub 9497
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  -  B ) ) )

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 ltsubadd 9491 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  C  <  ( A  +  B ) ) )
213com13 1158 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  C  <  ( A  +  B ) ) )
3 resubcl 9358 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4 ltnle 9148 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <  A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B ) ) )
53, 4sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  < 
A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B ) ) )
653impa 1148 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B
) ) )
763com13 1158 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <  A  <->  -.  A  <_  ( C  -  B
) ) )
8 readdcl 9066 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
9 ltnle 9148 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( C  < 
( A  +  B
)  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C
) )
108, 9sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( C  <  ( A  +  B
)  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C
) )
11103impb 1149 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <  ( A  +  B )  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C ) )
12113coml 1160 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <  ( A  +  B )  <->  -.  ( A  +  B )  <_  C ) )
132, 7, 123bitr3rd 276 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  +  B
)  <_  C  <->  -.  A  <_  ( C  -  B
) ) )
1413con4bid 285 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <_  C  <->  A  <_  ( C  -  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4205  (class class class)co 6074   RRcr 8982    + caddc 8986    < clt 9113    <_ cle 9114    - cmin 9284
This theorem is referenced by:  leaddsub2  9498  lesub  9500  lesub2  9516  subge0  9534  eluzp1m1  10502  eluzsubi  10506  fzen  11065  expmulnbnd  11504  hashdvds  13157  sylow1lem5  15229  gsumbagdiaglem  16433  voliunlem2  19438  itg2split  19634  dvfsumlem3  19905  pilem2  20361  logimul  20502  emcllem2  20828  chtublem  20988  dchrisum0re  21200  pntlemg  21285  fznatpl1  25191  totbndbnd  26490  ubmelm1fzo  28111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287
  Copyright terms: Public domain W3C validator