MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Unicode version

Theorem lebnum 18478
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If  X is a compact metric space and  U is an open cover of  X, then there exists a positive real number 
d such that every ball of size  d (and every subset of a ball of size  d, including every subset of diameter less than  d) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
lebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    J, d, x    U, d, u, x    ph, d, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    J( u)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
2 lebnum.s . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
3 lebnum.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 17915 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopnuni 18003 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
9 lebnum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
108, 9eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  U. J  =  U. U )
11 eqid 2296 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211cmpcov 17132 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  U  C_  J  /\  U. J  =  U. U )  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
131, 2, 10, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
14 1rp 10374 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
15 inss1 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
1715, 16sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ~P U )
18 elpwi 3646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P U  ->  w  C_  U )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  C_  U
)
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  w  C_  U
)
21 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  w )
2220, 21sseldd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  U )
235ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
24 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
25 rpxr 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
2614, 25mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  1  e.  RR* )
27 blssm 17984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
2823, 24, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
)
29 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  X  ->  (
( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
) )
3029rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  U  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
3122, 28, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
)
3231ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
33 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  D
) d )  =  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3433sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  1  ->  (
( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3534rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  1  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3635ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3736rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
3814, 32, 37sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
393ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
401ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  J  e.  Comp )
4119adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  U
)
422ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U  C_  J
)
4341, 42sstrd 3202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  J
)
448ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. J )
45 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U. J  = 
U. w )
4644, 45eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. w )
47 inss2 3403 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
4847, 16sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  Fin )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  e.  Fin )
50 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  -.  X  e.  w )
51 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
52 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
536, 39, 40, 43, 46, 49, 50, 51, 52lebnumlem3 18477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
54 ssrexv 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
C_  U  ->  ( E. u  e.  w  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5541, 54syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5655ralimdv 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5756reximdv 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5853, 57mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
5938, 58pm2.61dan 766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
6059expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( U. J  =  U. w  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
6160rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  = 
U. w  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
) )
6213, 61mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   supcsup 7209   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   sum_csu 12174   topGenctg 13358   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  xlebnum  18479  lebnumii  18480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
  Copyright terms: Public domain W3C validator