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Theorem lebnum 18462
Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If  X is a compact metric space and  U is an open cover of  X, then there exists a positive real number 
d such that every ball of size  d (and every subset of a ball of size  d, including every subset of diameter less than  d) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
lebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    J, d, x    U, d, u, x    ph, d, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    J( u)

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
2 lebnum.s . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
3 lebnum.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 17899 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopnuni 17987 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
9 lebnum.u . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
108, 9eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  U. J  =  U. U )
11 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
1211cmpcov 17116 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  U  C_  J  /\  U. J  =  U. U )  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
131, 2, 10, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. w )
14 1rp 10358 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
15 inss1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
16 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
1715, 16sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  ~P U )
18 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P U  ->  w  C_  U )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  C_  U
)
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  w  C_  U
)
21 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  w )
2220, 21sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  U )
235ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
24 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
25 rpxr 10361 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
2614, 25mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  1  e.  RR* )
27 blssm 17968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
2823, 24, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
)
29 sseq2 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  X  ->  (
( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  X
) )
3029rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  U  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
3122, 28, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
)
3231ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  u )
33 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  D
) d )  =  ( x ( ball `  D ) 1 ) )
3433sseq1d 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  1  ->  (
( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3534rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  1  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3635ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
1 )  C_  u
) )
3736rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
3814, 32, 37sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  X  e.  w )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
393ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
401ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  J  e.  Comp )
4119adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  U
)
422ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U  C_  J
)
4341, 42sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  C_  J
)
448ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. J )
45 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  U. J  = 
U. w )
4644, 45eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  X  =  U. w )
47 inss2 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
4847, 16sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  w  e.  Fin )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  w  e.  Fin )
50 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  -.  X  e.  w )
51 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  w  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
52 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
536, 39, 40, 43, 46, 49, 50, 51, 52lebnumlem3 18461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
54 ssrexv 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( w 
C_  U  ->  ( E. u  e.  w  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5541, 54syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5655ralimdv 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  w  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) d ) 
C_  u ) )
5756reximdv 2654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  ( E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  w  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5853, 57mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  /\  -.  X  e.  w
)  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
)
5938, 58pm2.61dan 766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. w ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
6059expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( U. J  =  U. w  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
6160rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  = 
U. w  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u
) )
6213, 61mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   sum_csu 12158   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  xlebnum  18463  lebnumii  18464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
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