Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnum Structured version   Unicode version

Theorem lebnum 18994
 Description: The Lebesgue number lemma, or Lebesgue covering lemma. If is a compact metric space and is an open cover of , then there exists a positive real number such that every ball of size (and every subset of a ball of size , including every subset of diameter less than ) is a subset of some member of the cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
Assertion
Ref Expression
lebnum
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem lebnum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnum.c . . 3
2 lebnum.s . . 3
3 lebnum.d . . . . . 6
4 metxmet 18369 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 lebnum.j . . . . . 6
76mopnuni 18476 . . . . 5
85, 7syl 16 . . . 4
9 lebnum.u . . . 4
108, 9eqtr3d 2472 . . 3
11 eqid 2438 . . . 4
1211cmpcov 17457 . . 3
131, 2, 10, 12syl3anc 1185 . 2
14 1rp 10621 . . . 4
15 inss1 3563 . . . . . . . . . 10
16 simprl 734 . . . . . . . . . 10
1715, 16sseldi 3348 . . . . . . . . 9
1817elpwid 3810 . . . . . . . 8
1918ad2antrr 708 . . . . . . 7
20 simplr 733 . . . . . . 7
2119, 20sseldd 3351 . . . . . 6
225ad3antrrr 712 . . . . . . 7
23 simpr 449 . . . . . . 7
24 rpxr 10624 . . . . . . . 8
2514, 24mp1i 12 . . . . . . 7
26 blssm 18453 . . . . . . 7
2722, 23, 25, 26syl3anc 1185 . . . . . 6
28 sseq2 3372 . . . . . . 7
2928rspcev 3054 . . . . . 6
3021, 27, 29syl2anc 644 . . . . 5
3130ralrimiva 2791 . . . 4
32 oveq2 6092 . . . . . . . 8
3332sseq1d 3377 . . . . . . 7
3433rexbidv 2728 . . . . . 6
3534ralbidv 2727 . . . . 5
3635rspcev 3054 . . . 4
3714, 31, 36sylancr 646 . . 3
383ad2antrr 708 . . . . 5
391ad2antrr 708 . . . . 5
4018adantr 453 . . . . . 6
412ad2antrr 708 . . . . . 6
4240, 41sstrd 3360 . . . . 5
438ad2antrr 708 . . . . . 6
44 simplrr 739 . . . . . 6
4543, 44eqtrd 2470 . . . . 5
46 inss2 3564 . . . . . . 7
4746, 16sseldi 3348 . . . . . 6
4847adantr 453 . . . . 5
49 simpr 449 . . . . 5
50 eqid 2438 . . . . 5
51 eqid 2438 . . . . 5
526, 38, 39, 42, 45, 48, 49, 50, 51lebnumlem3 18993 . . . 4
53 ssrexv 3410 . . . . . . 7
5440, 53syl 16 . . . . . 6
5554ralimdv 2787 . . . . 5
5655reximdv 2819 . . . 4
5752, 56mpd 15 . . 3
5837, 57pm2.61dan 768 . 2
5913, 58rexlimddv 2836 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017   cmpt 4269  ccnv 4880   crn 4882  cfv 5457  (class class class)co 6084  cfn 7112  csup 7448  c1 8996  cxr 9124   clt 9125  crp 10617  cioo 10921  csu 12484  ctg 13670  cxmt 16691  cme 16692  cbl 16693  cmopn 16696  ccmp 17454 This theorem is referenced by:  xlebnum  18995  lebnumii  18996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357
 Copyright terms: Public domain W3C validator