Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem1 Unicode version

Theorem lebnumlem1 18475
 Description: Lemma for lebnum 18478. The function measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1.u
lebnumlem1.n
lebnumlem1.f
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5
21adantr 451 . . . 4
3 lebnum.d . . . . . . . 8
43ad2antrr 706 . . . . . . 7
5 difss 3316 . . . . . . . 8
65a1i 10 . . . . . . 7
7 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12
87adantr 451 . . . . . . . . . . 11
98sselda 3193 . . . . . . . . . 10
10 elssuni 3871 . . . . . . . . . 10
119, 10syl 15 . . . . . . . . 9
12 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . 12
133, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11
14 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12
1514mopnuni 18003 . . . . . . . . . . 11
1613, 15syl 15 . . . . . . . . . 10
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
1811, 17sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8
19 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12
20 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . 13
2120notbid 285 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11
2322necon2ad 2507 . . . . . . . . . 10
2423adantr 451 . . . . . . . . 9
2524imp 418 . . . . . . . 8
26 pssdifn0 3528 . . . . . . . 8
2718, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . 7
28 eqid 2296 . . . . . . . 8
2928metdsre 18373 . . . . . . 7
304, 6, 27, 29syl3anc 1182 . . . . . 6
3128fmpt 5697 . . . . . 6
3230, 31sylibr 203 . . . . 5
33 simplr 731 . . . . 5
34 rsp 2616 . . . . 5
3532, 33, 34sylc 56 . . . 4
362, 35fsumrecl 12223 . . 3
37 lebnum.u . . . . . . 7
3837eleq2d 2363 . . . . . 6
3938biimpa 470 . . . . 5
40 eluni2 3847 . . . . 5
4139, 40sylib 188 . . . 4
42 0re 8854 . . . . . . . 8
4342a1i 10 . . . . . . 7
44 simplr 731 . . . . . . . . 9
45 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
4645metdsval 18367 . . . . . . . . 9
4744, 46syl 15 . . . . . . . 8
483ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
49 difss 3316 . . . . . . . . . . 11
5049a1i 10 . . . . . . . . . 10
517ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
5351, 52sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13
54 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12
5648, 12, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . 11
58 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15
6019, 59syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14
6160necon2ad 2507 . . . . . . . . . . . . 13
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
6352, 62mpd 14 . . . . . . . . . . 11
64 pssdifn0 3528 . . . . . . . . . . 11
6557, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
6645metdsre 18373 . . . . . . . . . 10
6748, 50, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
68 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
6967, 44, 68syl2anc 642 . . . . . . . 8
7047, 69eqeltrrd 2371 . . . . . . 7
7136adantr 451 . . . . . . 7
7213ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
7345metdsf 18368 . . . . . . . . . . . . 13
7472, 50, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
75 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12
7674, 44, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
77 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . 11
7876, 77sylib 188 . . . . . . . . . 10
7978simprd 449 . . . . . . . . 9
80 elndif 3313 . . . . . . . . . . . 12
8180ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11
8256difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
8314mopntop 18002 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8472, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685opncld 16786 . . . . . . . . . . . . . . 15
8784, 53, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
8882, 87eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13
89 cldcls 16795 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . 12
9190eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11
9281, 91mtbird 292 . . . . . . . . . 10
9345, 14metdseq0 18374 . . . . . . . . . . . 12
9472, 50, 44, 93syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
9594necon3abid 2492 . . . . . . . . . 10
9692, 95mpbird 223 . . . . . . . . 9
9769, 79, 96ne0gt0d 8972 . . . . . . . 8
9897, 47breqtrd 4063 . . . . . . 7
991ad2antrr 706 . . . . . . . 8
10035adantlr 695 . . . . . . . 8
10113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
10228metdsf 18368 . . . . . . . . . . . . . 14
103101, 6, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
10428fmpt 5697 . . . . . . . . . . . . 13
105103, 104sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
106 rsp 2616 . . . . . . . . . . . 12
107105, 33, 106sylc 56 . . . . . . . . . . 11
108 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . 11
109107, 108sylib 188 . . . . . . . . . 10
110109simprd 449 . . . . . . . . 9
111110adantlr 695 . . . . . . . 8
112 difeq2 3301 . . . . . . . . . . 11
113 mpteq1 4116 . . . . . . . . . . 11
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . 10
115114rneqd 4922 . . . . . . . . 9
116115supeq1d 7215 . . . . . . . 8
11799, 100, 111, 116, 52fsumge1 12271 . . . . . . 7
11843, 70, 71, 98, 117ltletrd 8992 . . . . . 6
119118expr 598 . . . . 5
120119rexlimdva 2680 . . . 4
12141, 120mpd 14 . . 3
12236, 121elrpd 10404 . 2
123 lebnumlem1.f . 2
124122, 123fmptd 5700 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  csup 7209  cr 8752  cc0 8753   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  crp 10370  cicc 10675  csu 12174  cxmt 16385  cme 16386  cmopn 16388  ctop 16647  ccld 16769  ccl 16771  ccmp 17129 This theorem is referenced by:  lebnumlem2  18476  lebnumlem3  18477 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774
 Copyright terms: Public domain W3C validator