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Theorem lebnumlem1 18857
Description: Lemma for lebnum 18860. The function  F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  Fin )
3 lebnum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5 difssd 3418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
76adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  C_  J )
87sselda 3291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
9 elssuni 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  J  ->  k  C_ 
U. J )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_ 
U. J )
11 metxmet 18273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1413mopnuni 18361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. J )
1710, 16sseqtr4d 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
19 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2019notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2118, 20syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2221necon2ad 2598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  U  -> 
k  =/=  X ) )
2423imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
25 pssdifn0 3632 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2617, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
27 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827metdsre 18754 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
294, 5, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3027fmpt 5829 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3129, 30sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
32 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  y  e.  X )
33 rsp 2709 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3431, 32, 33sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
352, 34fsumrecl 12455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
36 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
3736eleq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. U ) )
3837biimpa 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. U )
39 eluni2 3961 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. U  <->  E. m  e.  U  y  e.  m )
4038, 39sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  U  y  e.  m )
41 0re 9024 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  e.  RR )
43 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  y  e.  X )
44 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4544metdsval 18748 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4643, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
473ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
48 difssd 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  C_  X
)
496ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  C_  J
)
50 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  U )
5149, 50sseldd 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  J )
52 elssuni 3985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  J  ->  m  C_ 
U. J )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  U. J
)
5447, 11, 143syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  X  =  U. J )
5553, 54sseqtr4d 3328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  X
)
56 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  X  ->  (
m  e.  U  <->  X  e.  U ) )
5756notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  X  ->  ( -.  m  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
5818, 57syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( m  =  X  ->  -.  m  e.  U ) )
5958necon2ad 2598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/=  X ) )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/= 
X ) )
6150, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  =/=  X )
62 pssdifn0 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  C_  X  /\  m  =/=  X )  -> 
( X  \  m
)  =/=  (/) )
6355, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =/=  (/) )
6444metdsre 18754 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  ( X  \  m )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6547, 48, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6665, 43ffvelrnd 5810 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  RR )
6746, 66eqeltrrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6835adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6912ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7044metdsf 18749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7169, 48, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7271, 43ffvelrnd 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
73 elxrge0 10940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7472, 73sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7574simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
76 elndif 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  m  ->  -.  y  e.  ( X  \  m ) )
7776ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( X  \  m
) )
7854difeq1d 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =  ( U. J  \  m
) )
7913mopntop 18360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8069, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  J  e.  Top )
81 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
8281opncld 17020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J )  ->  ( U. J  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
8380, 51, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( U. J  \  m )  e.  ( Clsd `  J
) )
8478, 83eqeltrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
85 cldcls 17029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  m )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8777, 86neleqtrrd 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) )
8844, 13metdseq0 18755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
8969, 48, 43, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
9089necon3abid 2583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =/=  0  <->  -.  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) ) ) )
9187, 90mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =/=  0 )
9266, 75, 91ne0gt0d 9142 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
9392, 46breqtrd 4177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
941ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  e.  Fin )
9534adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
9612ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
9727metdsf 18749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \ 
k )  C_  X
)  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
9896, 5, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,]  +oo ) )
9927fmpt 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
10098, 99sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
101 rsp 2709 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
102100, 32, 101sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
103 elxrge0 10940 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
104102, 103sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
105104simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
106105adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
107 difeq2 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( X  \  k )  =  ( X  \  m
) )
108107mpteq1d 4231 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) )
109108rneqd 5037 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) )
110109supeq1d 7386 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11194, 95, 106, 110, 50fsumge1 12503 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11242, 67, 68, 93, 111ltletrd 9162 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
11340, 112rexlimddv 2777 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11435, 113elrpd 10578 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR+ )
115 lebnumlem1.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
116114, 115fmptd 5832 1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    \ cdif 3260    C_ wss 3263   (/)c0 3571   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   ran crn 4819   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   supcsup 7380   RRcr 8922   0cc0 8923    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   RR+crp 10544   [,]cicc 10851   sum_csu 12406   * Metcxmt 16612   Metcme 16613   MetOpencmopn 16617   Topctop 16881   Clsdccld 17003   clsccl 17005   Compccmp 17371
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  18858  lebnumlem3  18859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ec 6843  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008
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