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Theorem lebnumlem1 18978
Description: Lemma for lebnum 18981. The function  F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus, the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  Fin )
3 lebnum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5 difssd 3467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
6 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
76adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  C_  J )
87sselda 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
9 elssuni 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  J  ->  k  C_ 
U. J )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_ 
U. J )
11 metxmet 18356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
123, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
13 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1413mopnuni 18463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1512, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. J )
1710, 16sseqtr4d 3377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
19 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2019notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2118, 20syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2221necon2ad 2646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  U  -> 
k  =/=  X ) )
2423imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
25 pssdifn0 3681 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2617, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
27 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827metdsre 18875 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
294, 5, 26, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3027fmpt 5882 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3129, 30sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
32 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  y  e.  X )
33 rsp 2758 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3431, 32, 33sylc 58 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
352, 34fsumrecl 12520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
36 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
3736eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. U ) )
3837biimpa 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. U )
39 eluni2 4011 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. U  <->  E. m  e.  U  y  e.  m )
4038, 39sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  U  y  e.  m )
41 0re 9083 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  e.  RR )
43 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  y  e.  X )
44 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4544metdsval 18869 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4643, 45syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
473ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
48 difssd 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  C_  X
)
496ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  C_  J
)
50 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  U )
5149, 50sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  J )
52 elssuni 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  J  ->  m  C_ 
U. J )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  U. J
)
5447, 11, 143syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  X  =  U. J )
5553, 54sseqtr4d 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  X
)
56 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  X  ->  (
m  e.  U  <->  X  e.  U ) )
5756notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  X  ->  ( -.  m  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
5818, 57syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( m  =  X  ->  -.  m  e.  U ) )
5958necon2ad 2646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/=  X ) )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/= 
X ) )
6150, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  =/=  X )
62 pssdifn0 3681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  C_  X  /\  m  =/=  X )  -> 
( X  \  m
)  =/=  (/) )
6355, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =/=  (/) )
6444metdsre 18875 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  ( X  \  m )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6547, 48, 63, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6665, 43ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  RR )
6746, 66eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6835adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
6912ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7044metdsf 18870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7169, 48, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7271, 43ffvelrnd 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
73 elxrge0 11000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7472, 73sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7574simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
76 elndif 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  m  ->  -.  y  e.  ( X  \  m ) )
7776ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( X  \  m
) )
7854difeq1d 3456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =  ( U. J  \  m
) )
7913mopntop 18462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8069, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  J  e.  Top )
81 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
8281opncld 17089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J )  ->  ( U. J  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
8380, 51, 82syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( U. J  \  m )  e.  ( Clsd `  J
) )
8478, 83eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
85 cldcls 17098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  \  m )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
8777, 86neleqtrrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) )
8844, 13metdseq0 18876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
8969, 48, 43, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
9089necon3abid 2631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =/=  0  <->  -.  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) ) ) )
9187, 90mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =/=  0 )
9266, 75, 91ne0gt0d 9202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
9392, 46breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
941ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  e.  Fin )
9534adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
9612ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
9727metdsf 18870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \ 
k )  C_  X
)  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
9896, 5, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,]  +oo ) )
9927fmpt 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
10098, 99sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
101 rsp 2758 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
102100, 32, 101sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
103 elxrge0 11000 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
104102, 103sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
105104simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
106105adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
107 difeq2 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ( X  \  k )  =  ( X  \  m
) )
108107mpteq1d 4282 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) )
109108rneqd 5089 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) )
110109supeq1d 7443 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11194, 95, 106, 110, 50fsumge1 12568 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11242, 67, 68, 93, 111ltletrd 9222 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
11340, 112rexlimddv 2826 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11435, 113elrpd 10638 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR+ )
115 lebnumlem1.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
116114, 115fmptd 5885 1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   RR+crp 10604   [,]cicc 10911   sum_csu 12471   * Metcxmt 16678   Metcme 16679   MetOpencmopn 16683   Topctop 16950   Clsdccld 17072   clsccl 17074   Compccmp 17441
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  18979  lebnumlem3  18980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077
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