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Theorem lebnumlem1 18459
Description: Lemma for lebnum 18462. The function  F measures the sum of all of the distances to escape the sets of the cover. Since by assumption it is a cover, there is at least one set which covers a given point, and since it is open, the point is a positive distance from the edge of the set. Thus the sum is a strictly positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem1
Dummy variables  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  e.  Fin )
3 lebnum.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
43ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
5 difss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( X 
\  k )  C_  X
65a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
7 lebnum.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
87adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  U  C_  J )
98sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
10 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  J  ->  k  C_ 
U. J )
119, 10syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_ 
U. J )
12 metxmet 17899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
133, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
14 lebnum.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1514mopnuni 17987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
1613, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  X  =  U. J )
1811, 17sseqtr4d 3215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
19 lebnumlem1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
20 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2120notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2219, 21syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2322necon2ad 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2423adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  U  -> 
k  =/=  X ) )
2524imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
26 pssdifn0 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2718, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
28 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2928metdsre 18357 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
304, 6, 27, 29syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3128fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
3230, 31sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
33 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  y  e.  X )
34 rsp 2603 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR ) )
3532, 33, 34sylc 56 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
362, 35fsumrecl 12207 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
37 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
3837eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. U ) )
3938biimpa 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. U )
40 eluni2 3831 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. U  <->  E. m  e.  U  y  e.  m )
4139, 40sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  U  y  e.  m )
42 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
4342a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  e.  RR )
44 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  y  e.  X )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4645metdsval 18351 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  X  ->  (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
4744, 46syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
483ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
49 difss 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X 
\  m )  C_  X
5049a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  C_  X
)
517ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  C_  J
)
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  U )
5351, 52sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  e.  J )
54 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  J  ->  m  C_ 
U. J )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  U. J
)
5648, 12, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  X  =  U. J )
5755, 56sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  C_  X
)
58 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  X  ->  (
m  e.  U  <->  X  e.  U ) )
5958notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  X  ->  ( -.  m  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
6019, 59syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( m  =  X  ->  -.  m  e.  U ) )
6160necon2ad 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/=  X ) )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( m  e.  U  ->  m  =/= 
X ) )
6352, 62mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  m  =/=  X )
64 pssdifn0 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  C_  X  /\  m  =/=  X )  -> 
( X  \  m
)  =/=  (/) )
6557, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =/=  (/) )
6645metdsre 18357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  ( X  \  m )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
6748, 50, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR )
68 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> RR  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  RR )
6967, 44, 68syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  RR )
7047, 69eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
7136adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
7213ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
7345metdsf 18352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7472, 50, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
75 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,]  +oo )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
7674, 44, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
77 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7876, 77sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) ) )
7978simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <_  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
80 elndif 3300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  m  ->  -.  y  e.  ( X  \  m ) )
8180ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( X  \  m
) )
8256difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  =  ( U. J  \  m
) )
8314mopntop 17986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8472, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  J  e.  Top )
85 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. J  =  U. J
8685opncld 16770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J )  ->  ( U. J  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
8784, 53, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( U. J  \  m )  e.  ( Clsd `  J
) )
8882, 87eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( X  \  m )  e.  (
Clsd `  J )
)
89 cldcls 16779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  \  m )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) )  =  ( X  \  m ) )
9190eleq2d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) )  <->  y  e.  ( X  \  m
) ) )
9281, 91mtbird 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  -.  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) )
9345, 14metdseq0 18358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \  m )  C_  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
9472, 50, 44, 93syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =  0  <->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  m ) ) ) )
9594necon3abid 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
)  =/=  0  <->  -.  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  m
) ) ) )
9692, 95mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  ( (
w  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y )  =/=  0 )
9769, 79, 96ne0gt0d 8956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  ( ( w  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  m )  |->  ( w D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) `  y
) )
9897, 47breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
991ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  U  e.  Fin )
10035adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR )
10113ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
10228metdsf 18352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( X  \ 
k )  C_  X
)  ->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
103101, 6, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,]  +oo ) )
10428fmpt 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) : X --> ( 0 [,] 
+oo ) )
105103, 104sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
106 rsp 2603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  X  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  (
y  e.  X  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) ) )
107105, 33, 106sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
108 elxrge0 10747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
109107, 108sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  ( sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
110109simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
111110adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  ( m  e.  U  /\  y  e.  m
) )  /\  k  e.  U )  ->  0  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
112 difeq2 3288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( X  \  k )  =  ( X  \  m
) )
113 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  \  k )  =  ( X  \  m )  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) )  =  ( z  e.  ( X  \  m )  |->  ( y D z ) ) )
115114rneqd 4906 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) )  =  ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) )
116115supeq1d 7199 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11799, 100, 111, 116, 52fsumge1 12255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  m ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
11843, 70, 71, 98, 117ltletrd 8976 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  (
m  e.  U  /\  y  e.  m )
)  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k
)  |->  ( y D z ) ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
119118expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  m  e.  U )  ->  (
y  e.  m  -> 
0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
120119rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( E. m  e.  U  y  e.  m  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
12141, 120mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  0  <  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
12236, 121elrpd 10388 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR+ )
123 lebnumlem1.f . 2  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
124122, 123fmptd 5684 1  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   RR+crp 10354   [,]cicc 10659   sum_csu 12158   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  lebnumlem2  18460  lebnumlem3  18461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758
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