MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lebnumlem2 18988
Description: Lemma for lebnum 18990. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 18887, the function  F is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)    K( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 18365 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 18470 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
103adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
11 difssd 3476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
125adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1312, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
14 lebnum.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1514sselda 3349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
16 toponss 16995 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  J )  ->  k  C_  X )
1713, 15, 16syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
19 eleq1 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2019notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2118, 20syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2221necon2ad 2653 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2322imp 420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
24 pssdifn0 3690 . . . . . . 7  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2517, 23, 24syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
26 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2726, 6, 2metdscn2 18888 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2810, 11, 25, 27syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
292, 8, 9, 28fsumcn 18901 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
301, 29syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
312cnfldtopon 18818 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
33 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
34 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 18987 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
36 frn 5598 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR+ )
38 rpssre 10623 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
3937, 38syl6ss 3361 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
40 ax-resscn 9048 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
42 cnrest2 17351 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  F 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  F  e.  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4332, 39, 41, 42syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4430, 43mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
45 lebnumlem2.k . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
462tgioo2 18835 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4745, 46eqtri 2457 . . 3  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4847oveq2i 6093 . 2  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
4944, 48syl6eleqr 2528 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    \ cdif 3318    C_ wss 3321   (/)c0 3629   U.cuni 4016    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   ran crn 4880   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Fincfn 7110   supcsup 7446   CCcc 8989   RRcr 8990   RR*cxr 9120    < clt 9121   RR+crp 10613   (,)cioo 10917   sum_csu 12480   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650   topGenctg 13666   * Metcxmt 16687   Metcme 16688   MetOpencmopn 16692  ℂfldccnfld 16704  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289   Compccmp 17450
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353
  Copyright terms: Public domain W3C validator