MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Unicode version

Theorem lebnumlem2 18476
Description: Lemma for lebnum 18478. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 18376, the function  F is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)    K( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 17915 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 18001 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
103adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
11 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  k )  C_  X
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
135adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1413, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
15 lebnum.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1615sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
17 toponss 16683 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  J )  ->  k  C_  X )
1814, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
19 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
20 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2120notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2219, 21syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2322necon2ad 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2423imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
25 pssdifn0 3528 . . . . . . 7  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2618, 24, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
27 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827, 6, 2metdscn2 18377 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2910, 12, 26, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
302, 8, 9, 29fsumcn 18390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
311, 30syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
322cnfldtopon 18308 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3332a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
34 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
35 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
366, 3, 34, 15, 35, 9, 19, 1lebnumlem1 18475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
37 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
3836, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR+ )
39 rpssre 10380 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
4038, 39syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
41 ax-resscn 8810 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4241a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
43 cnrest2 17030 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  F 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  F  e.  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4433, 40, 42, 43syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4531, 44mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
46 lebnumlem2.k . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
472tgioo2 18325 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4846, 47eqtri 2316 . . 3  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4948oveq2i 5885 . 2  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
5045, 49syl6eleqr 2387 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   RR*cxr 8882    < clt 8883   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   sum_csu 12174   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
  Copyright terms: Public domain W3C validator