MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Unicode version

Theorem lebnumlem2 18460
Description: Lemma for lebnum 18462. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 18360, the function  F is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
lebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
lebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
lebnumlem1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
lebnumlem1.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lebnumlem1.f  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
lebnumlem2.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    y, k,
z, D    k, J, y, z    U, k, y, z    ph, k, y, z   
k, X, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z, k)    K( y, z, k)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
3 lebnum.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 17899 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6 lebnum.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 17985 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 lebnumlem1.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
103adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
11 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  k )  C_  X
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  C_  X )
135adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
1413, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
15 lebnum.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1615sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  e.  J )
17 toponss 16667 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  J )  ->  k  C_  X )
1814, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  C_  X )
19 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
20 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  X  ->  (
k  e.  U  <->  X  e.  U ) )
2120notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  X  ->  ( -.  k  e.  U  <->  -.  X  e.  U ) )
2219, 21syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  =  X  ->  -.  k  e.  U ) )
2322necon2ad 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  ->  k  =/=  X ) )
2423imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  k  =/=  X )
25 pssdifn0 3515 . . . . . . 7  |-  ( ( k  C_  X  /\  k  =/=  X )  -> 
( X  \  k
)  =/=  (/) )
2618, 24, 25syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( X  \  k )  =/=  (/) )
27 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \  k ) 
|->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  =  ( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
2827, 6, 2metdscn2 18361 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( X  \  k )  C_  X  /\  ( X  \ 
k )  =/=  (/) )  -> 
( y  e.  X  |->  sup ( ran  (
z  e.  ( X 
\  k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
2910, 12, 26, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
y  e.  X  |->  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
302, 8, 9, 29fsumcn 18374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X  |-> 
sum_ k  e.  U  sup ( ran  ( z  e.  ( X  \ 
k )  |->  ( y D z ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) )  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
311, 30syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
322cnfldtopon 18292 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
3332a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
34 lebnum.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
35 lebnum.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
366, 3, 34, 15, 35, 9, 19, 1lebnumlem1 18459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : X --> RR+ )
37 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( F : X --> RR+  ->  ran 
F  C_  RR+ )
3836, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR+ )
39 rpssre 10364 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
4038, 39syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
41 ax-resscn 8794 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4241a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
43 cnrest2 17014 . . . 4  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  F 
C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  <->  F  e.  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4433, 40, 42, 43syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  ( TopOpen ` fld )
)  <->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) ) )
4531, 44mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )
46 lebnumlem2.k . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
472tgioo2 18309 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4846, 47eqtri 2303 . . 3  |-  K  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4948oveq2i 5869 . 2  |-  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
5045, 49syl6eleqr 2374 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   RR*cxr 8866    < clt 8867   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   sum_csu 12158   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator