Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lebnumlem2 18988
 Description: Lemma for lebnum 18990. As a finite sum of point-to-set distance functions, which are continuous by metdscn 18887, the function is also continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1.u
lebnumlem1.n
lebnumlem1.f
lebnumlem2.k
Assertion
Ref Expression
lebnumlem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem lebnumlem2
StepHypRef Expression
1 lebnumlem1.f . . . 4
2 eqid 2437 . . . . 5 fld fld
3 lebnum.d . . . . . . 7
4 metxmet 18365 . . . . . . 7
53, 4syl 16 . . . . . 6
6 lebnum.j . . . . . . 7
76mopntopon 18470 . . . . . 6 TopOn
85, 7syl 16 . . . . 5 TopOn
9 lebnumlem1.u . . . . 5
103adantr 453 . . . . . 6
11 difssd 3476 . . . . . 6
125adantr 453 . . . . . . . . 9
1312, 7syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
14 lebnum.s . . . . . . . . 9
1514sselda 3349 . . . . . . . 8
16 toponss 16995 . . . . . . . 8 TopOn
1713, 15, 16syl2anc 644 . . . . . . 7
18 lebnumlem1.n . . . . . . . . . 10
19 eleq1 2497 . . . . . . . . . . 11
2019notbid 287 . . . . . . . . . 10
2118, 20syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9
2221necon2ad 2653 . . . . . . . 8
2322imp 420 . . . . . . 7
24 pssdifn0 3690 . . . . . . 7
2517, 23, 24syl2anc 644 . . . . . 6
26 eqid 2437 . . . . . . 7
2726, 6, 2metdscn2 18888 . . . . . 6 fld
2810, 11, 25, 27syl3anc 1185 . . . . 5 fld
292, 8, 9, 28fsumcn 18901 . . . 4 fld
301, 29syl5eqel 2521 . . 3 fld
312cnfldtopon 18818 . . . . 5 fld TopOn
3231a1i 11 . . . 4 fld TopOn
33 lebnum.c . . . . . . 7
34 lebnum.u . . . . . . 7
356, 3, 33, 14, 34, 9, 18, 1lebnumlem1 18987 . . . . . 6
36 frn 5598 . . . . . 6
3735, 36syl 16 . . . . 5
38 rpssre 10623 . . . . 5
3937, 38syl6ss 3361 . . . 4
40 ax-resscn 9048 . . . . 5
4140a1i 11 . . . 4
42 cnrest2 17351 . . . 4 fld TopOn fld fldt
4332, 39, 41, 42syl3anc 1185 . . 3 fld fldt
4430, 43mpbid 203 . 2 fldt
45 lebnumlem2.k . . . 4
462tgioo2 18835 . . . 4 fldt
4745, 46eqtri 2457 . . 3 fldt
4847oveq2i 6093 . 2 fldt
4944, 48syl6eleqr 2528 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600   cdif 3318   wss 3321  c0 3629  cuni 4016   cmpt 4267  ccnv 4878   crn 4880  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cfn 7110  csup 7446  cc 8989  cr 8990  cxr 9120   clt 9121  crp 10613  cioo 10917  csu 12480   ↾t crest 13649  ctopn 13650  ctg 13666  cxmt 16687  cme 16688  cmopn 16692  ℂfldccnfld 16704  TopOnctopon 16960   ccn 17289  ccmp 17450 This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18989 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353
 Copyright terms: Public domain W3C validator