Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lebnumlem3 Unicode version

Theorem lebnumlem3 18477
 Description: Lemma for lebnum 18478. By the previous lemmas, is continuous and positive on a compact set, so it has a positive minimum . Then setting , since for each we have iff , if for all then summing over yields , in contradiction to the assumption that is the minimum of . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lebnum.j
lebnum.d
lebnum.c
lebnum.s
lebnum.u
lebnumlem1.u
lebnumlem1.n
lebnumlem1.f
lebnumlem2.k
Assertion
Ref Expression
lebnumlem3
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   ()   (,,,,)

Proof of Theorem lebnumlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 10374 . . . 4
2 ne0i 3474 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 ral0 3571 . . . . 5
5 simpr 447 . . . . . 6
65raleqdv 2755 . . . . 5
74, 6mpbiri 224 . . . 4
87ralrimivw 2640 . . 3
9 r19.2z 3556 . . 3
103, 8, 9sylancr 644 . 2
11 lebnum.j . . . . . . 7
12 lebnum.d . . . . . . 7
13 lebnum.c . . . . . . 7
14 lebnum.s . . . . . . 7
15 lebnum.u . . . . . . 7
16 lebnumlem1.u . . . . . . 7
17 lebnumlem1.n . . . . . . 7
18 lebnumlem1.f . . . . . . 7
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18lebnumlem1 18475 . . . . . 6
2019adantr 451 . . . . 5
21 frn 5411 . . . . 5
2220, 21syl 15 . . . 4
23 eqid 2296 . . . . . . 7
24 lebnumlem2.k . . . . . . 7
2513adantr 451 . . . . . . 7
2611, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 24lebnumlem2 18476 . . . . . . . 8
2726adantr 451 . . . . . . 7
28 metxmet 17915 . . . . . . . . . 10
2911mopnuni 18003 . . . . . . . . . 10
3012, 28, 293syl 18 . . . . . . . . 9
3130neeq1d 2472 . . . . . . . 8
3231biimpa 470 . . . . . . 7
3323, 24, 25, 27, 32evth2 18474 . . . . . 6
3430adantr 451 . . . . . . 7
35 raleq 2749 . . . . . . . 8
3635rexeqbi1dv 2758 . . . . . . 7
3734, 36syl 15 . . . . . 6
3833, 37mpbird 223 . . . . 5
39 ffn 5405 . . . . . 6
40 breq1 4042 . . . . . . . 8
4140ralbidv 2576 . . . . . . 7
4241rexrn 5683 . . . . . 6
4320, 39, 423syl 18 . . . . 5
4438, 43mpbird 223 . . . 4
45 ssrexv 3251 . . . 4
4622, 44, 45sylc 56 . . 3
47 simpr 447 . . . . . 6
4815ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
49 simplr 731 . . . . . . . . . 10
5048, 49eqnetrrd 2479 . . . . . . . . 9
51 unieq 3852 . . . . . . . . . . 11
52 uni0 3870 . . . . . . . . . . 11
5351, 52syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10
5453necon3i 2498 . . . . . . . . 9
5550, 54syl 15 . . . . . . . 8
5616ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
57 hashnncl 11370 . . . . . . . . 9
5856, 57syl 15 . . . . . . . 8
5955, 58mpbird 223 . . . . . . 7
6059nnrpd 10405 . . . . . 6
6147, 60rpdivcld 10423 . . . . 5
62 ralnex 2566 . . . . . . . 8
6356adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
6455adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
65 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
67 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867metdsval 18367 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
7012ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
72 difss 3316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7574adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7648ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7775, 76sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . . . . . . . 16
78 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8017, 79syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8180necon2ad 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 pssdifn0 3528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8577, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
8667metdsre 18373 . . . . . . . . . . . . . . 15
8771, 73, 85, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
88 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 66, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
9069, 89eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . 12
9161ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
9291rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12
93 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9594notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9793, 96sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
9871, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9991rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10067metdsge 18369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10198, 73, 66, 99, 100syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10398, 66, 99, 102syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104 difin0ss 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105103, 104syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106101, 105sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15
10797, 106mtod 168 . . . . . . . . . . . . . 14
10889, 92ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . 14
109107, 108mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13
11069, 109eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . 12
11163, 64, 90, 92, 110fsumlt 12274 . . . . . . . . . . 11
112 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113rneqd 4922 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114supeq1d 7215 . . . . . . . . . . . . . 14
116115sumeq2sdv 12193 . . . . . . . . . . . . 13
117 sumex 12176 . . . . . . . . . . . . 13
118116, 18, 117fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12
11965, 118syl 15 . . . . . . . . . . 11
12061adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
121120rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . 13
122 fsumconst 12268 . . . . . . . . . . . . 13
12363, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
124 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
125124rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . 13
12659adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
127126nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13
128126nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13
129125, 127, 128divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . 12
130123, 129eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . 11
131111, 119, 1303brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10
13220ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
133 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 65, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
135134rpred 10406 . . . . . . . . . . 11
136124rpred 10406 . . . . . . . . . . 11
137135, 136ltnled 8982 . . . . . . . . . 10
138131, 137mpbid 201 . . . . . . . . 9
139138expr 598 . . . . . . . 8
14062, 139syl5bir 209 . . . . . . 7
141140con4d 97 . . . . . 6
142141ralimdva 2634 . . . . 5
143 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
144143sseq1d 3218 . . . . . . . 8
145144rexbidv 2577 . . . . . . 7
146145ralbidv 2576 . . . . . 6
147146rspcev 2897 . . . . 5
14861, 142, 147ee12an 1353 . . . 4
149148rexlimdva 2680 . . 3
15046, 149mpd 14 . 2
15110, 150pm2.61dane 2537 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   cdif 3162   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   crn 4706   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  csup 7209  cc 8751  cr 8752  c1 8754   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  crp 10370  cioo 10672  chash 11353  csu 12174  ctg 13358  cxmt 16385  cme 16386  cbl 16387  cmopn 16388   ccn 16970  ccmp 17129 This theorem is referenced by:  lebnum  18478 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
 Copyright terms: Public domain W3C validator