MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lecasei Structured version   Unicode version

Theorem lecasei 9181
Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 6-Jul-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
lecase.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lecase.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lecase.3  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ps )
lecase.4  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ps )
Assertion
Ref Expression
lecasei  |-  ( ph  ->  ps )

Proof of Theorem lecasei
StepHypRef Expression
1 lecase.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  <_  B )  ->  ps )
2 lecase.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  <_  A )  ->  ps )
3 lecase.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 lecase.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letric 9176 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
63, 4, 5syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  \/  B  <_  A ) )
71, 2, 6mpjaodan 763 1  |-  ( ph  ->  ps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   RRcr 8991    <_ cle 9123
This theorem is referenced by:  wloglei  9561  nn2ge  10027  max0sub  10784  leabs  12106  max0add  12117  limsupgre  12277  1arithlem4  13296  mndodcong  15182  metusttoOLD  18589  metustto  18590  reconn  18861  dyaddisj  19490  volcn  19500  ditgcl  19747  ditgswap  19748  ditgsplit  19750  dvfsumlem3  19914  ftc2ditg  19932  coseq0negpitopi  20413  asinlem3  20713  atanlogaddlem  20755  atanlogadd  20756  ppiub  20990  dchrisum0  21216  pntrmax  21260  padicabv  21326  ntrivcvgmul  25232  nacsfix  26768  acongrep  27047  hbt  27313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128
  Copyright terms: Public domain W3C validator