Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lecldbas Structured version   Unicode version

Theorem lecldbas 17275
 Description: The set of closed intervals forms a closed subbasis for the topology on the extended reals. Since our definition of a basis is in terms of open sets, we express this by showing that the complements of closed intervals form an open subbasis for the topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lecldbas.1
Assertion
Ref Expression
lecldbas ordTop

Proof of Theorem lecldbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4
2 eqid 2435 . . . 4
31, 2leordtval2 17268 . . 3 ordTop
4 fvex 5734 . . . 4
5 fvex 5734 . . . . . 6 ordTop
6 lecldbas.1 . . . . . . . 8
7 iccf 10995 . . . . . . . . . . 11
8 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
10 ovelrn 6214 . . . . . . . . . 10
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . 9
12 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . 12
13 iccordt 17270 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop
14 letopuni 17263 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop
1514cldopn 17087 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop
1613, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12 ordTop
1712, 16syl6eqel 2523 . . . . . . . . . . 11 ordTop
1817rexlimivw 2818 . . . . . . . . . 10 ordTop
1918rexlimivw 2818 . . . . . . . . 9 ordTop
2011, 19sylbi 188 . . . . . . . 8 ordTop
216, 20fmpti 5884 . . . . . . 7 ordTop
22 frn 5589 . . . . . . 7 ordTop ordTop
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6 ordTop
245, 23ssexi 4340 . . . . 5
25 eqid 2435 . . . . . . . 8
26 mnfxr 10706 . . . . . . . . . . 11
27 fnovrn 6213 . . . . . . . . . . 11
289, 26, 27mp3an12 1269 . . . . . . . . . 10
2926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
30 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14
31 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
33 mnfle 10721 . . . . . . . . . . . . . 14
34 pnfge 10719 . . . . . . . . . . . . . 14
35 df-icc 10915 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 df-ioc 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 xrletr 10740 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 xrlelttr 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 xrltle 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41403adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4239, 41syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15
4335, 36, 37, 35, 38, 42ixxun 10924 . . . . . . . . . . . . . 14
4429, 30, 32, 33, 34, 43syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13
45 iccmax 10978 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12
47 iccssxr 10985 . . . . . . . . . . . . 13
4835, 36, 37ixxdisj 10923 . . . . . . . . . . . . . 14
4926, 31, 48mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . 13
50 uneqdifeq 3708 . . . . . . . . . . . . 13
5147, 49, 50sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
5246, 51mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
5352eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10
54 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . 12
5554eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
5655rspcev 3044 . . . . . . . . . 10
5728, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . 9
58 xrex 10601 . . . . . . . . . . 11
59 difexg 4343 . . . . . . . . . . 11
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
616, 60elrnmpti 5113 . . . . . . . . 9
6257, 61sylibr 204 . . . . . . . 8
6325, 62fmpti 5884 . . . . . . 7
64 frn 5589 . . . . . . 7
6563, 64ax-mp 8 . . . . . 6
66 eqid 2435 . . . . . . . 8
67 fnovrn 6213 . . . . . . . . . . 11
689, 31, 67mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10
69 df-ico 10914 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 xrlenlt 9135 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 xrltletr 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 xrltle 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73723adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 73syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 xrletr 10740 . . . . . . . . . . . . . . 15
7669, 35, 70, 35, 74, 75ixxun 10924 . . . . . . . . . . . . . 14
7729, 30, 32, 33, 34, 76syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13
78 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 78, 453eqtr3g 2490 . . . . . . . . . . . 12
80 iccssxr 10985 . . . . . . . . . . . . 13
81 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . 14
8269, 35, 70ixxdisj 10923 . . . . . . . . . . . . . . 15
8326, 31, 82mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14
8481, 83syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13
85 uneqdifeq 3708 . . . . . . . . . . . . 13
8680, 84, 85sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
8779, 86mpbid 202 . . . . . . . . . . 11
8887eqcomd 2440 . . . . . . . . . 10
89 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . 12
9089eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11
9190rspcev 3044 . . . . . . . . . 10
9268, 88, 91syl2anc 643 . . . . . . . . 9
936, 60elrnmpti 5113 . . . . . . . . 9
9492, 93sylibr 204 . . . . . . . 8
9566, 94fmpti 5884 . . . . . . 7
96 frn 5589 . . . . . . 7
9795, 96ax-mp 8 . . . . . 6
9865, 97unssi 3514 . . . . 5
99 fiss 7421 . . . . 5
10024, 98, 99mp2an 654 . . . 4
101 tgss 17025 . . . 4
1024, 100, 101mp2an 654 . . 3
1033, 102eqsstri 3370 . 2 ordTop
104 letop 17262 . . 3 ordTop
105 tgfiss 17048 . . 3 ordTop ordTop ordTop
106104, 23, 105mp2an 654 . 2 ordTop
107103, 106eqssi 3356 1 ordTop
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfi 7407   cpnf 9109   cmnf 9110  cxr 9111   clt 9112   cle 9113  cioc 10909  cico 10910  cicc 10911  ctg 13657  ordTopcordt 13713  ctop 16950  ccld 17072 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075
 Copyright terms: Public domain W3C validator