MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12a Unicode version

Theorem lediv12a 9665
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  RR )
2 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 ltletr 8929 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( 0  <  C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D
) )
42, 3mp3an1 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D ) )
54imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  D )
65gt0ne0d 9353 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  =/=  0 )
71, 6rereccld 9603 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
8 gt0ne0 9255 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  ->  C  =/=  0 )
9 rereccl 9494 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
108, 9syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 727 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  C )  e.  RR )
12 recgt0 9616 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( 1  /  D ) )
131, 5, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  ( 1  /  D
) )
14 ltle 8926 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  D
)  ->  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
152, 7, 14sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <  ( 1  /  D )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) ) )
1613, 15mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <_  ( 1  /  D
) )
17 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  C  <_  D )
18 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1918ad2ant2r 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
20 lerec 9654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) ) )
2119, 1, 5, 20syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) )
2217, 21mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) )
2316, 22jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <_  ( 1  /  D )  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
247, 11, 23jca31 520 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  ( 1  /  C
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( 1  /  D
)  /\  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) ) )
25 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
26 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  A )
27 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
2825, 26, 27jca31 520 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )
29 simprll 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  e.  RR )
30 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) )
3129, 30jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
32 simprlr 739 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
3328, 31, 32jca32 521 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) ) )
34 simplrr 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  <_  B )
35 simprrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )
3634, 35jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
37 lemul12a 9630 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
3833, 36, 37sylc 56 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  x.  (
1  /  D ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
3924, 38sylan2 460 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
40 recn 8843 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4140adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  A  e.  CC )
42 recn 8843 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  D  e.  CC )
4342ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  CC )
4443adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  e.  CC )
456adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  =/=  0 )
4641, 44, 45divrecd 9555 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4746adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4847adantlr 695 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
49 recn 8843 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5049adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  B  e.  CC )
51 recn 8843 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
5251ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  e.  CC )
538adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  =/=  0 )
5450, 52, 53divrecd 9555 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5554adantrrr 705 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  ( 0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5655adantrlr 703 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5756adantll 694 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5857adantlr 695 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5939, 48, 583brtr4d 4069 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439
This theorem is referenced by:  lediv2a  9666  lediv12ad  10461  stoweidlem1  27853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440
  Copyright terms: Public domain W3C validator