MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12a Unicode version

Theorem lediv12a 9867
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lediv12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv12a
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  RR )
2 0re 9055 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3 ltletr 9130 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( 0  <  C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D
) )
42, 3mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
C  /\  C  <_  D )  ->  0  <  D ) )
54imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  D )
65gt0ne0d 9555 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  =/=  0 )
71, 6rereccld 9805 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  e.  RR )
8 gt0ne0 9457 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  ->  C  =/=  0 )
9 rereccl 9696 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  C  =/=  0 )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
108, 9syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
1110ad2ant2r 728 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  C )  e.  RR )
12 recgt0 9818 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( 1  /  D ) )
131, 5, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <  ( 1  /  D
) )
14 ltle 9127 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  D
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  D
)  ->  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
152, 7, 14sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <  ( 1  /  D )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) ) )
1613, 15mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  0  <_  ( 1  /  D
) )
17 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  C  <_  D )
18 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1918ad2ant2r 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
20 lerec 9856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  0  <  C )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  < 
D ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) ) )
2119, 1, 5, 20syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) )
2217, 21mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
1  /  D )  <_  ( 1  /  C ) )
2316, 22jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
0  <_  ( 1  /  D )  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
247, 11, 23jca31 521 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  ( 1  /  C
)  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( 1  /  D
)  /\  ( 1  /  D )  <_ 
( 1  /  C
) ) ) )
25 simplll 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
26 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  A )
27 simpllr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
2825, 26, 27jca31 521 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )
29 simprll 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  e.  RR )
30 simprrl 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  D ) )
3129, 30jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) ) )
32 simprlr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  C
)  e.  RR )
3328, 31, 32jca32 522 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) ) )
34 simplrr 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  ->  A  <_  B )
35 simprrr 742 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )
3634, 35jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) ) )
37 lemul12a 9832 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  /\  (
( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  D ) )  /\  ( 1  /  C )  e.  RR ) )  ->  (
( A  <_  B  /\  ( 1  /  D
)  <_  ( 1  /  C ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) ) )
3833, 36, 37sylc 58 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( ( 1  /  D )  e.  RR  /\  (
1  /  C )  e.  RR )  /\  ( 0  <_  (
1  /  D )  /\  ( 1  /  D )  <_  (
1  /  C ) ) ) )  -> 
( A  x.  (
1  /  D ) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
3924, 38sylan2 461 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  D
) )  <_  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
40 recn 9044 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4140adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  A  e.  CC )
42 recn 9044 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  D  e.  CC )
4342ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  < 
C  /\  C  <_  D ) )  ->  D  e.  CC )
4443adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  e.  CC )
456adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  D  =/=  0 )
4641, 44, 45divrecd 9757 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4746adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
4847adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  =  ( A  x.  ( 1  /  D ) ) )
49 recn 9044 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
5049adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  B  e.  CC )
51 recn 9044 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
5251ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  e.  CC )
538adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  C  =/=  0 )
5450, 52, 53divrecd 9757 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5554adantrrr 706 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  ( 0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
5655adantrlr 704 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5756adantll 695 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5857adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  ( 1  /  C ) ) )
5939, 48, 583brtr4d 4210 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    / cdiv 9641
This theorem is referenced by:  lediv2a  9868  lediv12ad  10667  stoweidlem1  27625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642
  Copyright terms: Public domain W3C validator