MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv12ad Structured version   Unicode version

Theorem lediv12ad 10695
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
lediv12ad.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lediv12ad.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
lediv12ad.6  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lediv12ad.7  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
Assertion
Ref Expression
lediv12ad  |-  ( ph  ->  ( A  /  D
)  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv12ad
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltmul1d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
31, 2jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
4 lediv12ad.5 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
5 lediv12ad.6 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
64, 5jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )
7 ltmul1d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
87rpred 10640 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
9 lediv12ad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
108, 9jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )
117rpgt0d 10643 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  C )
12 lediv12ad.7 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <_  D )
1311, 12jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  C  /\  C  <_  D ) )
14 lediv12a 9895 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <  C  /\  C  <_  D ) ) )  ->  ( A  /  D )  <_  ( B  /  C ) )
153, 6, 10, 13, 14syl22anc 1185 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  D
)  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   RR+crp 10604
This theorem is referenced by:  chpo1ubb  21167  selbergb  21235  selberg2b  21238  lgamgulmlem5  24809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-rp 10605
  Copyright terms: Public domain W3C validator