HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv12it 5896
Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers.
Assertion
Ref Expression
lediv12it |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) <_ (B / C))
Proof of Theorem lediv12it
StepHypRef Expression
1 lemul12itOLD 5843 . . 3 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ (((1 / D) e. RR /\ (1 / C) e. RR) /\ (0 <_ (1 / D) /\ (1 / D) <_ (1 / C)))) -> (A x. (1 / D)) <_ (B x. (1 / C)))
2 rerecclt 5803 . . . . . 6 |- ((D e. RR /\ D =/= 0) -> (1 / D) e. RR)
3 simplr 413 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> D e. RR)
4 gt0ne0t 5618 . . . . . . 7 |- ((D e. RR /\ 0 < D) -> D =/= 0)
5 0re 5440 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
6 ltletrt 5524 . . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 < C /\ C <_ D) -> 0 < D))
75, 6mp3an1 903 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ D e. RR) -> ((0 < C /\ C <_ D) -> 0 < D))
87imp 350 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 < D)
94, 3, 8sylanc 471 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> D =/= 0)
102, 3, 9sylanc 471 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (1 / D) e. RR)
11 gt0ne0t 5618 . . . . . . 7 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> C =/= 0)
12 rerecclt 5803 . . . . . . 7 |- ((C e. RR /\ C =/= 0) -> (1 / C) e. RR)
1311, 12syldan 467 . . . . . 6 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> (1 / C) e. RR)
1413ad2ant2r 409 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (1 / C) e. RR)
1510, 14jca 288 . . . 4 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> ((1 / D) e. RR /\ (1 / C) e. RR))
16 recgt0t 5861 . . . . . . 7 |- ((D e. RR /\ 0 < D) -> 0 < (1 / D))
1716, 3, 8sylanc 471 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 < (1 / D))
18 ltlet 5520 . . . . . . 7 |- ((0 e. RR /\ (1 / D) e. RR) -> (0 < (1 / D) -> 0 <_ (1 / D)))
195a1i 8 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 e. RR)
2018, 19, 10sylanc 471 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (0 < (1 / D) -> 0 <_ (1 / D)))
2117, 20mpd 26 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> 0 <_ (1 / D))
22 simprr 415 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> C <_ D)
23 lerect 5885 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ 0 < C) /\ (D e. RR /\ 0 < D)) -> (C <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / C)))
24 id 59 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> (C e. RR /\ 0 < C))
2524ad2ant2r 409 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (C e. RR /\ 0 < C))
263, 8jca 288 . . . . . . 7 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (D e. RR /\ 0 < D))
2723, 25, 26sylanc 471 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (C <_ D <-> (1 / D) <_ (1 / C)))
2822, 27mpbid 195 . . . . 5 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (1 / D) <_ (1 / C))
2921, 28jca 288 . . . 4 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (0 <_ (1 / D) /\ (1 / D) <_ (1 / C)))
3015, 29jca 288 . . 3 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> (((1 / D) e. RR /\ (1 / C) e. RR) /\ (0 <_ (1 / D) /\ (1 / D) <_ (1 / C))))
311, 30sylan2 451 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A x. (1 / D)) <_ (B x. (1 / C)))
32 divrect 5739 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ D e. CC /\ D =/= 0) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
33 recnt 5313 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
3433adantr 389 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> A e. CC)
35 recnt 5313 . . . . . . 7 |- (D e. RR -> D e. CC)
3635ad2antlr 405 . . . . . 6 |- (((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D)) -> D e. CC)
3736adantl 388 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> D e. CC)
389adantl 388 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> D =/= 0)
3932, 34, 37, 38syl3anc 858 . . . 4 |- ((A e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
4039adantlr 393 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
4140adantlr 393 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) = (A x. (1 / D)))
42 divrect 5739 . . . . . . 7 |- ((B e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
43 recnt 5313 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> B e. CC)
4443adantr 389 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> B e. CC)
45 recnt 5313 . . . . . . . 8 |- (C e. RR -> C e. CC)
4645ad2antrl 406 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> C e. CC)
4711adantl 388 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> C =/= 0)
4842, 44, 46, 47syl3anc 858 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ 0 < C)) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
4948adantrrr 403 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ (C e. RR /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5049adantrlr 401 . . . 4 |- ((B e. RR /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5150adantll 392 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5251adantlr 393 . 2 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (B / C) = (B x. (1 / C)))
5331, 41, 523brtr4d 2645 1 |- ((((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 <_ A /\ A <_ B)) /\ ((C e. RR /\ D e. RR) /\ (0 < C /\ C <_ D))) -> (A / D) <_ (B / C))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486
This theorem is referenced by:  lediv2it 5897  efaddlem17 7354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn