MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Unicode version

Theorem lediv1dd 10627
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
lediv1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lediv1dd  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltmul1d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltmul1d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
52, 3, 4lediv1d 10615 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  /  C )  <_  ( B  /  C ) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915    <_ cle 9047    / cdiv 9602   RR+crp 10537
This theorem is referenced by:  aalioulem5  20113  aalioulem6  20114  cxp2lim  20675  cxploglim2  20677  fsumharmonic  20710  chpchtlim  21033  dchrmusum2  21048  dchrvmasumlem3  21053  dchrisum0fno1  21065  dchrisum0lem1  21070  dchrisum0lem2a  21071  mulogsumlem  21085  vmalogdivsum2  21092  2vmadivsumlem  21094  selberglem2  21100  selbergb  21103  selberg2b  21106  chpdifbndlem1  21107  logdivbnd  21110  selberg3lem1  21111  selberg4lem1  21114  pntrlog2bndlem1  21131  pntrlog2bndlem2  21132  pntrlog2bndlem3  21133  pntrlog2bndlem5  21135  pntrlog2bnd  21138  pntpbnd1a  21139  pntpbnd2  21141  pntibndlem2  21145  dya2icoseg  24414  sxbrsigalem2  24423  lgamgulmlem2  24586  lgamgulmlem5  24589  wallispilem5  27479
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-rp 10538
  Copyright terms: Public domain W3C validator