MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv1dd Structured version   Unicode version

Theorem lediv1dd 10695
Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
lediv1dd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
lediv1dd  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )

Proof of Theorem lediv1dd
StepHypRef Expression
1 lediv1dd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 ltmul1d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltmul1d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
52, 3, 4lediv1d 10683 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  /  C )  <_  ( B  /  C ) ) )
61, 5mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  C
)  <_  ( B  /  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   class class class wbr 4205  (class class class)co 6074   RRcr 8982    <_ cle 9114    / cdiv 9670   RR+crp 10605
This theorem is referenced by:  aalioulem5  20246  aalioulem6  20247  cxp2lim  20808  cxploglim2  20810  fsumharmonic  20843  chpchtlim  21166  dchrmusum2  21181  dchrvmasumlem3  21186  dchrisum0fno1  21198  dchrisum0lem1  21203  dchrisum0lem2a  21204  mulogsumlem  21218  vmalogdivsum2  21225  2vmadivsumlem  21227  selberglem2  21233  selbergb  21236  selberg2b  21239  chpdifbndlem1  21240  logdivbnd  21243  selberg3lem1  21244  selberg4lem1  21247  pntrlog2bndlem1  21264  pntrlog2bndlem2  21265  pntrlog2bndlem3  21266  pntrlog2bndlem5  21268  pntrlog2bnd  21271  pntpbnd1a  21272  pntpbnd2  21274  pntibndlem2  21278  dya2icoseg  24620  sxbrsigalem2  24629  lgamgulmlem2  24807  lgamgulmlem5  24810  wallispilem5  27786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-riota 6542  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-rp 10606
  Copyright terms: Public domain W3C validator