HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem lediv23t 5893
Description: Swap denominator with other side of 'less than or equal to'.
Assertion
Ref Expression
lediv23t |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> (A / C) <_ B))
Proof of Theorem lediv23t
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5618 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 < B) -> B =/= 0)
21adantll 392 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> B =/= 0)
3 redivclt 5800 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
433expa 833 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (A / B) e. RR)
52, 4syldan 467 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> (A / B) e. RR)
653adantl3 805 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> (A / B) e. RR)
7 3simp3 790 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> C e. RR)
87adantr 389 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> C e. RR)
9 3simp2 789 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> B e. RR)
109adantr 389 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> B e. RR)
116, 8, 103jca 819 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR))
12 lemul1t 5832 . . . 4 |- ((((A / B) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
1311, 12sylancom 475 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
1413adantrr 395 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> ((A / B) x. B) <_ (C x. B)))
15 divcan1t 5724 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
16153expa 833 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
17 recnt 5313 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
18 recnt 5313 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> B e. CC)
1917, 18anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A e. CC /\ B e. CC))
2016, 19sylan 448 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A / B) x. B) = A)
212, 20syldan 467 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) x. B) = A)
22213adantl3 805 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < B) -> ((A / B) x. B) = A)
2322adantrr 395 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) x. B) = A)
2423breq1d 2629 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> (((A / B) x. B) <_ (C x. B) <-> A <_ (C x. B)))
25 lediv1tOLD 5852 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ (C x. B) e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ ((C x. B) / C)))
26 3simp1 788 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> A e. RR)
27 axmulrcl 5274 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ B e. RR) -> (C x. B) e. RR)
2827ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ C e. RR) -> (C x. B) e. RR)
29283adant1 797 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (C x. B) e. RR)
3026, 29, 73jca 819 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A e. RR /\ (C x. B) e. RR /\ C e. RR))
3125, 30sylan 448 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ ((C x. B) / C)))
32 gt0ne0t 5618 . . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ 0 < C) -> C =/= 0)
3332adantll 392 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> C =/= 0)
34 divcan3t 5760 . . . . . . . . 9 |- ((B e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
35 recnt 5313 . . . . . . . . 9 |- (C e. RR -> C e. CC)
36 id 59 . . . . . . . . 9 |- (C =/= 0 -> C =/= 0)
3734, 18, 35, 36syl3an 868 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ C e. RR /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
38373expa 833 . . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ C =/= 0) -> ((C x. B) / C) = B)
3933, 38syldan 467 . . . . . 6 |- (((B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((C x. B) / C) = B)
40393adantl1 803 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((C x. B) / C) = B)
4140breq2d 2630 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> ((A / C) <_ ((C x. B) / C) <-> (A / C) <_ B))
4231, 41bitrd 528 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ B))
4342adantrl 394 . 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> (A <_ (C x. B) <-> (A / C) <_ B))
4414, 24, 433bitrd 544 1 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ (0 < B /\ 0 < C)) -> ((A / B) <_ C <-> (A / C) <_ B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703
Copyright terms: Public domain