MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivdivd Structured version   Unicode version

Theorem ledivdivd 10663
Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
rpaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ltdiv2d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ledivdivd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
ledivdivd.5  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  <_  ( C  /  D ) )
Assertion
Ref Expression
ledivdivd  |-  ( ph  ->  ( D  /  C
)  <_  ( B  /  A ) )

Proof of Theorem ledivdivd
StepHypRef Expression
1 ledivdivd.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  <_  ( C  /  D ) )
2 rpred.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
32rpregt0d 10644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
4 rpaddcld.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpregt0d 10644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
6 ltdiv2d.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
76rpregt0d 10644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
8 ledivdivd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR+ )
98rpregt0d 10644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) )
10 ledivdiv 9889 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  0  < 
C )  /\  ( D  e.  RR  /\  0  <  D ) ) )  ->  ( ( A  /  B )  <_ 
( C  /  D
)  <->  ( D  /  C )  <_  ( B  /  A ) ) )
113, 5, 7, 9, 10syl22anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  B )  <_  ( C  /  D )  <->  ( D  /  C )  <_  ( B  /  A ) ) )
121, 11mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( D  /  C
)  <_  ( B  /  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980    < clt 9110    <_ cle 9111    / cdiv 9667   RR+crp 10602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-rp 10603
  Copyright terms: Public domain W3C validator