HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem ledivp1t 5905
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1t |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ A)
Proof of Theorem ledivp1t
StepHypRef Expression
1 lemul2itOLD 5840 . . 3 |- (((B e. RR /\ (B + 1) e. RR /\ (A / (B + 1)) e. RR) /\ (0 <_ (A / (B + 1)) /\ B <_ (B + 1))) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ ((A / (B + 1)) x. (B + 1)))
2 simprl 414 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> B e. RR)
3 peano2re 5436 . . . . 5 |- (B e. RR -> (B + 1) e. RR)
43ad2antrl 406 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) e. RR)
5 redivclt 5800 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (B + 1) e. RR /\ (B + 1) =/= 0) -> (A / (B + 1)) e. RR)
6 pm3.26 319 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> A e. RR)
73ad2antrl 406 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) e. RR)
8 gt0ne0t 5618 . . . . . . . 8 |- (((B + 1) e. RR /\ 0 < (B + 1)) -> (B + 1) =/= 0)
93adantr 389 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> (B + 1) e. RR)
10 ltp1t 5811 . . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> B < (B + 1))
11 0re 5440 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
12 lelttrt 5523 . . . . . . . . . . . 12 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> ((0 <_ B /\ B < (B + 1)) -> 0 < (B + 1)))
1311, 12mp3an1 903 . . . . . . . . . . 11 |- ((B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> ((0 <_ B /\ B < (B + 1)) -> 0 < (B + 1)))
143, 13mpdan 704 . . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> ((0 <_ B /\ B < (B + 1)) -> 0 < (B + 1)))
1510, 14mpan2d 702 . . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> (0 <_ B -> 0 < (B + 1)))
1615imp 350 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> 0 < (B + 1))
178, 9, 16sylanc 471 . . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> (B + 1) =/= 0)
1817adantl 388 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) =/= 0)
195, 6, 7, 18syl3anc 858 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (A / (B + 1)) e. RR)
2019adantlr 393 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (A / (B + 1)) e. RR)
212, 4, 203jca 819 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B e. RR /\ (B + 1) e. RR /\ (A / (B + 1)) e. RR))
22 divge0t 5856 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ ((B + 1) e. RR /\ 0 < (B + 1))) -> 0 <_ (A / (B + 1)))
239, 16jca 288 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> ((B + 1) e. RR /\ 0 < (B + 1)))
2422, 23sylan2 451 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> 0 <_ (A / (B + 1)))
2510adantr 389 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> B < (B + 1))
26 ltlet 5520 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> (B < (B + 1) -> B <_ (B + 1)))
273, 26mpdan 704 . . . . . . 7 |- (B e. RR -> (B < (B + 1) -> B <_ (B + 1)))
2827adantr 389 . . . . . 6 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> (B < (B + 1) -> B <_ (B + 1)))
2925, 28mpd 26 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ 0 <_ B) -> B <_ (B + 1))
3029adantl 388 . . . 4 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> B <_ (B + 1))
3124, 30jca 288 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (0 <_ (A / (B + 1)) /\ B <_ (B + 1)))
321, 21, 31sylanc 471 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ ((A / (B + 1)) x. (B + 1)))
33 divcan1t 5724 . . 3 |- ((A e. CC /\ (B + 1) e. CC /\ (B + 1) =/= 0) -> ((A / (B + 1)) x. (B + 1)) = A)
34 recnt 5313 . . . 4 |- (A e. RR -> A e. CC)
3534ad2antrr 404 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> A e. CC)
363recnd 5315 . . . 4 |- (B e. RR -> (B + 1) e. CC)
3736ad2antrl 406 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) e. CC)
3817adantl 388 . . 3 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> (B + 1) =/= 0)
3933, 35, 37, 38syl3anc 858 . 2 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. (B + 1)) = A)
4032, 39breqtrd 2639 1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (B e. RR /\ 0 <_ B)) -> ((A / (B + 1)) x. B) <_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294   <_ cle 5295   < clt 5486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703
Copyright terms: Public domain