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Theorem leexp1a 11401
Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 4193 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
0 )  <_  ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
6 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ k
) )
75, 6breq12d 4193 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
) ) )
87imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
10 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ (
k  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 4193 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
13 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
14 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ N
) )
1513, 14breq12d 4193 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 9044 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
18 recn 9044 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
19 exp0 11349 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2019adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
21 1le1 9614 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2220, 21syl6eqbr 4217 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  1 )
23 exp0 11349 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2423adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2522, 24breqtrrd 4206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2726adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) )
28 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
29 reexpcl 11361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
3028, 29sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
k )  e.  RR )
31 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
33 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  A
)
34 expge0 11379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A ^ k ) )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  B  e.  RR )
37 reexpcl 11361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
3836, 37sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
3930, 35, 38jca31 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR ) )
40 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
41 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  -> 
0  <_  A )
4240, 41anim12i 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
44 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
4539, 43, 44jca32 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
47 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )
48 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  <_  B
)
4948adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  A  <_  B
)
5047, 49jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  /\  A  <_  B ) )
51 lemul12a 9832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  (
( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )  ->  (
( ( A ^
k )  <_  ( B ^ k )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( A ^
k )  x.  A
)  <_  ( ( B ^ k )  x.  B ) ) )
5246, 50, 51sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  <_  (
( B ^ k
)  x.  B ) )
53 expp1 11351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5417, 53sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5554adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5655adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5756adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
58 expp1 11351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
5918, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
6059adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6160adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) )
6463ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
6564expcom 425 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( B ^ k )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
6665a2d 24 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 10330 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( B ^ N
) ) )
6867exp4c 592 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 77 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1166 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    <_ cle 9085   NN0cn0 10185   ^cexp 11345
This theorem is referenced by:  expubnd  11403  facubnd  11554  pserulm  20299  logexprlim  20970  ostth2lem2  21289  ostth3  21293  stoweidlem1  27625  stoweidlem24  27648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-seq 11287  df-exp 11346
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