MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2 Unicode version

Theorem leexp2 11354
Description: Ordering law for exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
leexp2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  ( A ^ M
)  <_  ( A ^ N ) ) )

Proof of Theorem leexp2
StepHypRef Expression
1 3ancomb 945 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
2 ltexp2 11353 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( N  < 
M  <->  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
31, 2sylanb 459 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( N  < 
M  <->  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
43notbid 286 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( -.  N  <  M  <->  -.  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
5 simpl2 961 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  M  e.  ZZ )
6 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  N  e.  ZZ )
7 zre 10211 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
8 zre 10211 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
9 lenlt 9080 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
107, 8, 9syl2an 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
115, 6, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  -.  N  <  M
) )
12 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  A  e.  RR )
13 0re 9017 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  0  e.  RR )
15 1re 9016 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  1  e.  RR )
17 0lt1 9475 . . . . . . 7  |-  0  <  1
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  0  <  1
)
19 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  1  <  A
)
2014, 16, 12, 18, 19lttrd 9156 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
)
2120gt0ne0d 9516 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  A  =/=  0
)
22 reexpclz 11321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
2312, 21, 5, 22syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
24 reexpclz 11321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
2512, 21, 6, 24syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
2623, 25lenltd 9144 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( ( A ^ M )  <_ 
( A ^ N
)  <->  -.  ( A ^ N )  <  ( A ^ M ) ) )
274, 11, 263bitr4d 277 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  1  <  A )  ->  ( M  <_  N 
<->  ( A ^ M
)  <_  ( A ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2543   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    < clt 9046    <_ cle 9047   ZZcz 10207   ^cexp 11302
This theorem is referenced by:  leexp2d  11473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-seq 11244  df-exp 11303
  Copyright terms: Public domain W3C validator