MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leexp2a Structured version   Unicode version

Theorem leexp2a 11427
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2a  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem leexp2a
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR )
2 0re 9083 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
32a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  e.  RR )
4 1re 9082 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 9542 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  1 )
8 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  A )
93, 5, 1, 7, 8ltletrd 9222 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  0  <  A )
101, 9elrpd 10638 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  RR+ )
11 eluzel2 10485 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
12113ad2ant3 980 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
13 rpexpcl 11392 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
1410, 12, 13syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR+ )
1514rpred 10640 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1615recnd 9106 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  e.  CC )
1716mulid2d 9098 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  =  ( A ^ M
) )
18 uznn0sub 10509 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
19183ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
20 expge1 11409 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
211, 19, 8, 20syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( A ^ ( N  -  M ) ) )
221recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  e.  CC )
239gt0ne0d 9583 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  =/=  0 )
24 eluzelz 10488 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
25243ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
26 expsub 11419 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( A ^ ( N  -  M )
)  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2722, 23, 25, 12, 26syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ ( N  -  M ) )  =  ( ( A ^ N )  /  ( A ^ M ) ) )
2821, 27breqtrd 4228 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) )
29 rpexpcl 11392 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
3010, 25, 29syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR+ )
3130rpred 10640 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ N )  e.  RR )
325, 31, 14lemuldivd 10685 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
1  x.  ( A ^ M ) )  <_  ( A ^ N )  <->  1  <_  ( ( A ^ N
)  /  ( A ^ M ) ) ) )
3328, 32mpbird 224 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( A ^ M ) )  <_ 
( A ^ N
) )
3417, 33eqbrtrrd 4226 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  11502  digit1  11505  leexp2ad  11547  faclbnd4lem1  11576  climcndslem1  12621  climcndslem2  12622  ef01bndlem  12777  aaliou3lem2  20252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator