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Theorem leexp2r 11159
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) )

Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ M
) )
21breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) )
32imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
4 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
54breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( A ^ M
) ) )
65imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
87breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) )
98imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
10 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
1110breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( A ^ M )  <->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) )
1211imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( A ^ M ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
13 reexpcl 11120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( A ^ M
)  e.  RR )
1413adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
1514leidd 9339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ M )  <_  ( A ^ M ) ) )
17 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  e.  RR )
18 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
20 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
21 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
22 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
24 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
2517, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
26 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  A )
27 expge0 11138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
2817, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
29 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  <_  1 )
3017, 19, 25, 28, 29lemul2ad 9697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  x.  A )  <_  ( ( A ^ k )  x.  1 ) )
3117recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
32 expp1 11110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
3331, 23, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^
k )  x.  A
) )
3425recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
3534mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  x.  1 )  =  ( A ^
k ) )
3635eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ k )  =  ( ( A ^
k )  x.  1 ) )
3730, 33, 363brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ k
) )
38 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3923, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
40 reexpcl 11120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR )
4117, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
4213ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  ( A ^ M )  e.  RR )
43 letr 8914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( A ^ k )  e.  RR  /\  ( A ^ M )  e.  RR )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ k )  /\  ( A ^ k )  <_  ( A ^ M ) )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) )
4441, 25, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( A ^ k )  /\  ( A ^ k )  <_  ( A ^ M ) )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( A ^ M ) ) )
4537, 44mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) ) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( A ^ M )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) )
4645ex 423 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( A ^ M
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) ) )
4746a2d 23 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( ( A  e.  RR  /\  M  e. 
NN0 )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( A ^ M ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( A ^ M
) ) ) )
483, 6, 9, 12, 16, 47uzind4 10276 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) )
4948exp3a 425 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <_  1 )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
5049com12 27 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( ( 0  <_  A  /\  A  <_  1
)  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) ) ) )
51503impia 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
0  <_  A  /\  A  <_  1 )  -> 
( A ^ N
)  <_  ( A ^ M ) ) )
5251imp 418 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  1 ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( A ^ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  exple1  11161  leexp2rd  11278  wallispilem1  27814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
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