MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lefld Structured version   Unicode version

Theorem lefld 14671
Description: The field of the 'less or equal to' relationship on the extended real. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
lefld  |-  RR*  =  U. U.  <_

Proof of Theorem lefld
StepHypRef Expression
1 lerel 9142 . . 3  |-  Rel  <_
2 relfld 5395 . . 3  |-  ( Rel 
<_  ->  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  U. U.  <_  =  ( dom  <_  u. 
ran  <_  )
4 ledm 14669 . . 3  |-  RR*  =  dom  <_
5 lern 14670 . . 3  |-  RR*  =  ran  <_
64, 5uneq12i 3499 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  ( dom  <_  u.  ran  <_  )
7 unidm 3490 . 2  |-  ( RR*  u. 
RR* )  =  RR*
83, 6, 73eqtr2ri 2463 1  |-  RR*  =  U. U.  <_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    u. cun 3318   U.cuni 4015   dom cdm 4878   ran crn 4879   Rel wrel 4883   RR*cxr 9119    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  letsr  14672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator