MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpisum Unicode version

Theorem leibpisum 20652
Description: The Leibniz formula for  pi. This version of leibpi 20651 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpisum  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4
)

Proof of Theorem leibpisum
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10454 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10227 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  0  e.  ZZ )
4 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ n ) )
5 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
65oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
74, 6oveq12d 6040 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
8 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5747 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) `  n )  =  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
1110adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) `  n )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
12 1re 9025 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312renegcli 9296 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
14 reexpcl 11327 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  RR )
1513, 14mpan 652 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ n )  e.  RR )
16 2nn0 10172 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
17 nn0mulcl 10190 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1816, 17mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
19 nn0p1nn 10193 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2115, 20nndivred 9982 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
2221recnd 9049 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
2322adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
248leibpi 20651 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  ~~>  ( pi 
/  4 )
2524a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  ~~>  ( pi  / 
4 ) )
261, 3, 11, 23, 25isumclim 12470 . 2  |-  (  T. 
->  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4 ) )
2726trud 1329 1  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930   -ucneg 9226    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   4c4 9985   NN0cn0 10155   ZZcz 10216    seq cseq 11252   ^cexp 11311    ~~> cli 12207   sum_csu 12408   picpi 12598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-tan 12603  df-pi 12604  df-dvds 12782  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-t1 17302  df-haus 17303  df-cmp 17374  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-ulm 20162  df-log 20323  df-atan 20576
  Copyright terms: Public domain W3C validator