MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpisum Structured version   Unicode version

Theorem leibpisum 20775
Description: The Leibniz formula for  pi. This version of leibpi 20774 looks nicer but does not assert that the series is convergent so is not as practically useful. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
leibpisum  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4
)

Proof of Theorem leibpisum
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10512 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0z 10285 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  0  e.  ZZ )
4 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ n ) )
5 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
65oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
74, 6oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
9 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5798 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) `  n )  =  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
1110adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) `  n )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
12 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1312renegcli 9354 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  RR
14 reexpcl 11390 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  RR )
1513, 14mpan 652 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ n )  e.  RR )
16 2nn0 10230 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
17 nn0mulcl 10248 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  NN0 )
1816, 17mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
19 nn0p1nn 10251 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  NN )
2115, 20nndivred 10040 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
2221recnd 9106 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
2322adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
248leibpi 20774 . . . 4  |-  seq  0
(  +  ,  ( k  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  ~~>  ( pi 
/  4 )
2524a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  ~~>  ( pi  / 
4 ) )
261, 3, 11, 23, 25isumclim 12533 . 2  |-  (  T. 
->  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4 ) )
2726trud 1332 1  |-  sum_ n  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( pi  /  4
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   4c4 10043   NN0cn0 10213   ZZcz 10274    seq cseq 11315   ^cexp 11374    ~~> cli 12270   sum_csu 12471   picpi 12661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-t1 17370  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-ulm 20285  df-log 20446  df-atan 20699
  Copyright terms: Public domain W3C validator