MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leisorel Structured version   Unicode version

Theorem leisorel 11710
Description: Version of isorel 6047 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
leisorel  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )

Proof of Theorem leisorel
StepHypRef Expression
1 leiso 11709 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  C_ 
RR* )  ->  ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  <-> 
F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
21biimpcd 217 . . 3  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
3 isorel 6047 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D ) ) )
43ex 425 . . 3  |-  ( F 
Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) )
52, 4syl6 32 . 2  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) ) )
653imp 1148 1  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   ` cfv 5455    Isom wiso 5456   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122
This theorem is referenced by:  seqcoll  11713  isercolllem2  12460  isercoll  12462  summolem2a  12510  xrhmeo  18972  prodmolem2a  25261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-le 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator