MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leisorel Unicode version

Theorem leisorel 11445
Description: Version of isorel 5865 for strictly increasing functions on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
leisorel  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )

Proof of Theorem leisorel
StepHypRef Expression
1 leiso 11444 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  C_ 
RR* )  ->  ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  <-> 
F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
21biimpcd 215 . . 3  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B ) ) )
3 isorel 5865 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D ) ) )
43ex 423 . . 3  |-  ( F 
Isom  <_  ,  <_  ( A ,  B )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) )
52, 4syl6 29 . 2  |-  ( F 
Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  ->  ( ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  A )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) ) ) )
653imp 1145 1  |-  ( ( F  Isom  <  ,  <  ( A ,  B )  /\  ( A  C_  RR* 
/\  B  C_  RR* )  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  ( C  <_  D  <->  ( F `  C )  <_  ( F `  D )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1701    C_ wss 3186   class class class wbr 4060   ` cfv 5292    Isom wiso 5293   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913
This theorem is referenced by:  seqcoll  11448  isercolllem2  12186  isercoll  12188  summolem2a  12235  xrhmeo  18497  prodmolem2a  24437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-le 8918
  Copyright terms: Public domain W3C validator