MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Unicode version

Theorem leloe 8908
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 8901 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 506 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 376 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 240 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 axlttri 8894 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B
) ) )
76ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B
) ) )
87con2bid 319 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  =  A  \/  A  < 
B )  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 251 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  ( A  < 
B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 244 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  ltle  8910  leltne  8911  lelttr  8912  ltletr  8913  letr  8914  leid  8916  ltlen  8922  leloei  8935  leloed  8962  lemul1  9608  lemul1a  9610  squeeze0  9659  fimaxre  9701  sup3  9711  nn0ge0  9991  nn0sub  10014  elnn0z  10036  xlemul1a  10608  om2uzlti  11013  om2uzlt2i  11014  sqlecan  11209  discr  11238  facdiv  11300  facwordi  11302  resqrex  11736  sqr2irr  12527  efgsfo  15048  efgred  15057  itg2mulc  19102  itgabs  19189  dgrlt  19647  sinq12ge0  19876  sineq0  19889  cxpge0  20030  cxplea  20043  cxple2  20044  cxple2a  20046  cxpcn3lem  20087  cxpcn3  20088  cxpaddlelem  20091  cxpaddle  20092  ang180lem3  20109  atanlogaddlem  20209  rlimcnp2  20261  jensen  20283  amgm  20285  htthlem  21497  hiidge0  21677  staddi  22826  stadd3i  22828  pellfund14gap  26972  rfcnnnub  27707  fmul01lt1lem2  27715  wallispilem3  27816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator