MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Structured version   Unicode version

Theorem leloe 9161
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 9154 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
2 eqcom 2438 . . . . 5  |-  ( B  =  A  <->  A  =  B )
32orbi1i 507 . . . 4  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  =  B  \/  A  <  B ) )
4 orcom 377 . . . 4  |-  ( ( A  =  B  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
53, 4bitri 241 . . 3  |-  ( ( B  =  A  \/  A  <  B )  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) )
6 axlttri 9147 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B
) ) )
76ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  -.  ( B  =  A  \/  A  <  B
) ) )
87con2bid 320 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  =  A  \/  A  < 
B )  <->  -.  B  <  A ) )
95, 8syl5rbbr 252 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  <->  ( A  < 
B  \/  A  =  B ) ) )
101, 9bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  ltle  9163  leltne  9164  lelttr  9165  ltletr  9166  letr  9167  leid  9169  ltlen  9175  leloei  9190  leloed  9216  lemul1  9862  lemul1a  9864  squeeze0  9913  fimaxre  9955  sup3  9965  nn0ge0  10247  nn0sub  10270  elnn0z  10294  xlemul1a  10867  om2uzlti  11290  om2uzlt2i  11291  sqlecan  11487  discr  11516  facdiv  11578  facwordi  11580  resqrex  12056  sqr2irr  12848  efgsfo  15371  efgred  15380  itg2mulc  19639  itgabs  19726  dgrlt  20184  sinq12ge0  20416  sineq0  20429  cxpge0  20574  cxplea  20587  cxple2  20588  cxple2a  20590  cxpcn3lem  20631  cxpcn3  20632  cxpaddlelem  20635  cxpaddle  20636  ang180lem3  20653  atanlogaddlem  20753  rlimcnp2  20805  jensen  20827  amgm  20829  htthlem  22420  hiidge0  22600  staddi  23749  stadd3i  23751  itgaddnclem2  26264  itgabsnc  26274  pellfund14gap  26950  ltnltne  28094  sineq0ALT  29049
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator