MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Unicode version

Theorem leloed 9150
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
leloed  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 leloe 9096 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   RRcr 8924    < clt 9055    <_ cle 9056
This theorem is referenced by:  mulge0  9479  prodgt0  9789  lemul1  9796  reconnlem1  18730  reconnlem2  18731  ivthle  19222  ivthle2  19223  ovolicc2lem3  19284  itgsplitioo  19598  dvlip  19746  dvge0  19759  dvfsumlem1  19779  dgrco  20062  plydivex  20083  coseq00topi  20279  logreclem  20529  scvxcvx  20693  pntrlog2bndlem5  21144  elpell1qr2  26628  pellfundex  26642  fmul01lt1lem2  27385  wallispilem3  27486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061
  Copyright terms: Public domain W3C validator