MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloed Structured version   Unicode version

Theorem leloed 9206
Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
leloed  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )

Proof of Theorem leloed
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 leloe 9151 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8979    < clt 9110    <_ cle 9111
This theorem is referenced by:  mulge0  9535  prodgt0  9845  lemul1  9852  reconnlem1  18847  reconnlem2  18848  ivthle  19343  ivthle2  19344  ovolicc2lem3  19405  itgsplitioo  19719  dvlip  19867  dvge0  19880  dvfsumlem1  19900  dgrco  20183  plydivex  20204  coseq00topi  20400  logreclem  20650  scvxcvx  20814  pntrlog2bndlem5  21265  elpell1qr2  26889  pellfundex  26903  fmul01lt1lem2  27646  wallispilem3  27747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-pre-lttri 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116
  Copyright terms: Public domain W3C validator