MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leltned Unicode version

Theorem leltned 9184
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than' is not 'equals'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
leltned.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leltned  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )

Proof of Theorem leltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 leltned.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
4 leltne 9124 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1721    =/= wne 2571   class class class wbr 4176   RRcr 8949    < clt 9080    <_ cle 9081
This theorem is referenced by:  elfznelfzo  11151  absgt0  12087  blcvx  18786  pmltpclem2  19303  abelthlem2  20305  logcj  20458  argimgt0  20464  dvloglem  20496  logf1o2  20498  asinneg  20683  dchrelbas4  20984  lgseisen  21094  m1lgs  21103  dchrisum0flblem1  21159  erdszelem9  24842  areacirc  26191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086
  Copyright terms: Public domain W3C validator