MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leltned Unicode version

Theorem leltned 9117
Description: 'Less than or equal to' implies 'less than' is not 'equals'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
leltned.3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Assertion
Ref Expression
leltned  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )

Proof of Theorem leltned
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 leltned.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
4 leltne 9058 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1183 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  B  =/=  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1715    =/= wne 2529   class class class wbr 4125   RRcr 8883    < clt 9014    <_ cle 9015
This theorem is referenced by:  elfznelfzo  11079  absgt0  12015  blcvx  18517  pmltpclem2  19024  abelthlem2  20026  logcj  20179  argimgt0  20185  dvloglem  20217  logf1o2  20219  asinneg  20404  dchrelbas4  20705  lgseisen  20815  m1lgs  20824  dchrisum0flblem1  20880  probmeasb  24257  cndprobprob  24265  erdszelem9  24454  areacirc  25791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator