MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttr Unicode version

Theorem lelttr 9091
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lelttr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem lelttr
StepHypRef Expression
1 leloe 9087 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
213adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
3 lttr 9078 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43exp3a 426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
5 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  C  <->  B  <  C ) )
65biimprd 215 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 370 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 207 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
109imp3a 421 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   RRcr 8915    < clt 9046    <_ cle 9047
This theorem is referenced by:  letr  9093  lelttri  9125  lelttrd  9153  letrp1  9777  ltmul12a  9791  ledivp1  9837  supmul1  9898  bndndx  10145  uzind  10286  fnn0ind  10294  rpnnen1lem5  10529  xrinfmsslem  10811  flge  11134  fsequb  11234  expnlbnd2  11430  caubnd2  12081  caubnd  12082  mulcn2  12309  cn1lem  12311  rlimo1  12330  o1rlimmul  12332  climsqz  12354  climsqz2  12355  rlimsqzlem  12362  climsup  12383  caucvgrlem2  12388  iseralt  12398  cvgcmp  12515  cvgcmpce  12517  ruclem3  12752  ruclem12  12760  algcvgblem  12988  pclem  13132  infpn2  13201  metss2lem  18424  ngptgp  18541  nghmcn  18643  iocopnst  18829  ovollb2lem  19244  ovolicc2lem4  19276  volcn  19358  ismbf3d  19406  dvcnvrelem1  19761  dvfsumrlim  19775  ulmcn  20175  mtest  20180  logdivlti  20375  isosctrlem1  20522  ftalem2  20716  chtub  20856  bposlem6  20933  chtppilim  21029  dchrisumlem3  21045  pntlem3  21163  nvnencycllem  21471  vacn  22031  nmcvcn  22032  blocni  22147  chscllem2  22981  lnconi  23377  staddi  23590  stadd3i  23592  ltflcei  25943  lxflflp1  25945  geomcau  26149  heibor1lem  26202  bfplem2  26216  rrncmslem  26225  climinf  27393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052
  Copyright terms: Public domain W3C validator