MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttr Structured version   Unicode version

Theorem lelttr 9155
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lelttr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem lelttr
StepHypRef Expression
1 leloe 9151 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
213adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B ) ) )
3 lttr 9142 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43exp3a 426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
5 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  C  <->  B  <  C ) )
65biimprd 215 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 370 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  \/  A  =  B
)  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 207 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( B  <  C  ->  A  <  C ) ) )
109imp3a 421 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   RRcr 8979    < clt 9110    <_ cle 9111
This theorem is referenced by:  letr  9157  lelttri  9190  lelttrd  9218  letrp1  9842  ltmul12a  9856  ledivp1  9902  supmul1  9963  bndndx  10210  uzind  10351  fnn0ind  10359  rpnnen1lem5  10594  xrinfmsslem  10876  flge  11204  fsequb  11304  expnlbnd2  11500  caubnd2  12151  caubnd  12152  mulcn2  12379  cn1lem  12381  rlimo1  12400  o1rlimmul  12402  climsqz  12424  climsqz2  12425  rlimsqzlem  12432  climsup  12453  caucvgrlem2  12458  iseralt  12468  cvgcmp  12585  cvgcmpce  12587  ruclem3  12822  ruclem12  12830  algcvgblem  13058  pclem  13202  infpn2  13271  metss2lem  18531  ngptgp  18667  nghmcn  18769  iocopnst  18955  ovollb2lem  19374  ovolicc2lem4  19406  volcn  19488  ismbf3d  19536  dvcnvrelem1  19891  dvfsumrlim  19905  ulmcn  20305  mtest  20310  logdivlti  20505  isosctrlem1  20652  ftalem2  20846  chtub  20986  bposlem6  21063  chtppilim  21159  dchrisumlem3  21175  pntlem3  21293  nvnencycllem  21620  vacn  22180  nmcvcn  22181  blocni  22296  chscllem2  23130  lnconi  23526  staddi  23739  stadd3i  23741  ltflcei  26204  lxflflp1  26206  geomcau  26419  heibor1lem  26472  bfplem2  26486  rrncmslem  26495  climinf  27663  flltdivnn0lt  28089  ccatsymb  28116  swrdswrd  28129  swrdccatin12lem4  28143  cshwidx  28172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116
  Copyright terms: Public domain W3C validator