MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttrd Unicode version

Theorem lelttrd 8974
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lelttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
lelttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lelttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lelttrd
StepHypRef Expression
1 lelttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
2 lelttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lelttr 8912 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  C
)  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  lt2msq1  9639  suprzcl  10091  ge0p1rp  10382  elfzolt3  10884  modsubdir  11008  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  expmulnbnd  11233  discr1  11237  faclbnd5  11311  bcp1nk  11329  hashfun  11389  swrds2  11560  abslt  11798  abs3lem  11822  fzomaxdiflem  11826  reccn2  12070  o1rlimmul  12092  caucvgrlem  12145  geomulcvg  12332  mertenslem1  12340  ef01bndlem  12464  sin01bnd  12465  cos01bnd  12466  sinltx  12469  eirrlem  12482  rpnnen2lem11  12503  ruclem10  12517  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsinv1lem  12632  smueqlem  12681  pcfaclem  12946  pockthg  12953  prmreclem5  12967  1arith  12974  4sqlem11  13002  4sqlem12  13003  4sqlem13  13004  coe1tmmul2  16352  ssblex  17974  nlmvscnlem2  18196  nlmvscnlem1  18197  nrginvrcnlem  18201  blcvx  18304  icccmplem2  18328  reconnlem2  18332  metdcnlem  18341  icopnfcnv  18440  nmoleub2lem3  18596  ipcnlem2  18671  ipcnlem1  18672  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  pjthlem1  18801  pmltpclem2  18809  ivthlem2  18812  ovollb2lem  18847  iundisj  18905  uniioombllem3  18940  opnmbllem  18956  itg2monolem3  19107  itg2cnlem2  19117  dveflem  19326  dvferm2lem  19333  lhop1lem  19360  dvcnvre  19366  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386  coeeulem  19606  dgradd2  19649  aaliou2b  19721  ulmdvlem1  19777  itgulm  19784  radcnvlem1  19789  radcnvlt1  19794  radcnvle  19796  psercnlem1  19801  pserdvlem1  19803  pserdv  19805  abelthlem2  19808  abelthlem7  19814  cosordlem  19893  tanord1  19899  efif1olem1  19904  logcnlem3  19991  logcnlem4  19992  efopnlem1  20003  logtayl  20007  cxpcn3lem  20087  birthdaylem3  20248  efrlim  20264  ftalem1  20310  ftalem2  20311  ftalem5  20314  basellem1  20318  basellem3  20320  perfectlem2  20469  bposlem1  20523  bposlem3  20525  bposlem6  20528  lgsdirprm  20568  lgsqrlem2  20581  lgseisen  20592  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  2sqlem8  20611  2sqblem  20616  dchrvmasumiflem1  20650  pntrmax  20713  pntlemc  20744  pntlemg  20747  pntlemr  20751  smcnlem  21270  minvecolem3  21455  pjhthlem1  21970  nmcexi  22606  sqsscirc1  23292  iundisjfi  23363  iundisjf  23365  dya2iocseg  23579  subfaclim  23719  eupap1  23900  axpaschlem  24568  axlowdimlem16  24585  bpoly4  24794  isbnd3  26508  cntotbnd  26520  rrnequiv  26559  icodiamlt  26905  irrapxlem1  26907  pell14qrgapw  26961  monotoddzzfi  27027  ltrmynn0  27035  jm2.24nn  27046  acongeq  27070  jm2.26lem3  27094  jm3.1lem2  27111  stoweidlem13  27762
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator