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Theorem lemindclsbu 25995
Description: Lemma for indcls2 25996. (Contributed by FL, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
lemindclsbu  |-  ( ( U  e.  A  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    A, f, n    U, f, n    f, F
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem lemindclsbu
StepHypRef Expression
1 mapsspw 6803 . . . . . . . 8  |-  ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  C_  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U
)
2 fzssuz 10832 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... n )  C_  ( ZZ>= `  1 )
3 uzssz 10247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
42, 3sstri 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... n )  C_  ZZ
5 xpss1 4795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ZZ  ->  ( ( 1 ... n )  X.  U )  C_  ( ZZ  X.  U
) )
6 sspwb 4223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... n
)  X.  U ) 
C_  ( ZZ  X.  U )  <->  ~P (
( 1 ... n
)  X.  U ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  U ) )
7 sstr 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  ^m  (
1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U )  /\  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U
)  C_  ~P ( ZZ  X.  U ) )  ->  ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  C_  ~P ( ZZ  X.  U
) )
8 mapsspw 6803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)
9 xpss1 4795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  U )  ->  (
( U  ^m  (
1 ... n ) )  X.  U )  C_  ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
) )
10 sspwb 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  ^m  (
1 ... n ) )  X.  U )  C_  ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
)  <->  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  X.  U )  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
) )
11 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  X.  U )  /\  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) )  ->  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) )
12 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) )
1312a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) )
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U )  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) ) )
1511, 14syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  X.  U )  /\  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) ) ) )
1615ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  X.  U )  ->  ( ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) ) ) ) )
1716com5l 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) ) ) ) )
1810, 17sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  ^m  (
1 ... n ) )  X.  U )  C_  ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
)  ->  ( n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  ( ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  X.  U
)  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) ) ) ) )
199, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  U )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  ( ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  C_  ~P (
( U  ^m  (
1 ... n ) )  X.  U )  -> 
f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) ) ) )
20193imp1 1164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  C_  ~P ( ZZ  X.  U
)  /\  n  e.  NN  /\  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  /\  U  e.  A )  ->  (
( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) 
C_  ~P ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) )  X.  U )  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U ) ) )
218, 20mpi 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  C_  ~P ( ZZ  X.  U
)  /\  n  e.  NN  /\  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  /\  U  e.  A )  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U ) )
22213exp1 1167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ZZ  X.  U )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) ) )
237, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  ^m  (
1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U )  /\  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U
)  C_  ~P ( ZZ  X.  U ) )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) ) ) )
2423expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( ( 1 ... n )  X.  U
)  C_  ~P ( ZZ  X.  U )  -> 
( ( U  ^m  ( 1 ... n
) )  C_  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U
)  ->  ( n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) ) ) ) )
256, 24sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... n
)  X.  U ) 
C_  ( ZZ  X.  U )  ->  (
( U  ^m  (
1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) ) ) )
264, 5, 25mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) 
C_  ~P ( ( 1 ... n )  X.  U )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) ) )
271, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n
) ) )  -> 
( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) ) ) )
2827rexlimiv 2661 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( U  e.  A  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) )
2928com12 27 . . . . 5  |-  ( U  e.  A  ->  ( E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) )
3029ralimdv 2622 . . . 4  |-  ( U  e.  A  ->  ( A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  (
1 ... n ) ) )  ->  A. f  e.  F  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) ) )
3130imp 418 . . 3  |-  ( ( U  e.  A  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  A. f  e.  F  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) )
32 dfss3 3170 . . 3  |-  ( F 
C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U )  <->  A. f  e.  F  f  e.  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U ) )
3331, 32sylibr 203 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
) )
34 zex 10033 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
35 elex 2796 . . . . . 6  |-  ( U  e.  A  ->  U  e.  _V )
36 xpexg 4800 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  U  e.  _V )  ->  ( ZZ  X.  U
)  e.  _V )
37 pwexg 4194 . . . . . . 7  |-  ( ( ZZ  X.  U )  e.  _V  ->  ~P ( ZZ  X.  U
)  e.  _V )
3836, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  U  e.  _V )  ->  ~P ( ZZ  X.  U )  e.  _V )
3934, 35, 38sylancr 644 . . . . 5  |-  ( U  e.  A  ->  ~P ( ZZ  X.  U
)  e.  _V )
40 xpexg 4800 . . . . 5  |-  ( ( ~P ( ZZ  X.  U )  e.  _V  /\  U  e.  _V )  ->  ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U )  e.  _V )
4139, 35, 40syl2anc 642 . . . 4  |-  ( U  e.  A  ->  ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U )  e.  _V )
42 pwexg 4194 . . . 4  |-  ( ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
)  e.  _V  ->  ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U )  e.  _V )
4341, 42syl 15 . . 3  |-  ( U  e.  A  ->  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U
)  e.  _V )
44 ssexg 4160 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U )  /\  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
4544ex 423 . . 3  |-  ( F 
C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U )  X.  U )  ->  ( ~P ( ~P ( ZZ 
X.  U )  X.  U )  e.  _V  ->  F  e.  _V )
)
4643, 45mpan9 455 . 2  |-  ( ( U  e.  A  /\  F  C_  ~P ( ~P ( ZZ  X.  U
)  X.  U ) )  ->  F  e.  _V )
4733, 46syldan 456 1  |-  ( ( U  e.  A  /\  A. f  e.  F  E. n  e.  NN  f  e.  ( U  ^m  ( U  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  indcls2  25996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-pm 6775  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
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